第一节 复数的概念及运算

我们曾在高中学习过复数的概念及运算，这里着重强调两点。

复数zz 的辐角Arg⁡z\operatorname{Arg}z 有无穷多个，将满足−π<θ⩽π-\pi <\theta \leqslant \pi 的那一个称为辐角主值，记作arg⁡z\arg z。它与反正切的对应关系如下

arg⁡z={arctan⁡yx,x>0±π2,x=0,y≠0arctan⁡yx+π,x<0,y>0π,x<0,y=0arctan⁡yx−π,x<0,y<0\arg z= \begin{cases} \arctan\dfrac{y}{x},&x>0 \\ \pm\dfrac{\pi}{2},&x=0,y \neq 0 \\ \arctan\dfrac{y}{x}+\pi,&x<0,y>0 \\ \pi,&x<0,y=0 \\ \arctan\dfrac{y}{x}-\pi,&x<0,y<0 \\ \end{cases}

复数z=reiθz=r\mathrm e^{\mathrm i\theta} 的nn 次方根为

wk=rneiθ+2kπn (k=0,1,…,n−1).w_{k}=\sqrt[n]{ r }\mathrm e^{\mathrm i \frac{\theta+2k\pi}{n}}\ (k=0,1,\dots,n-1).

例 求(1−i)13(1-\mathrm i)^{\frac{1}{3}}。

(1−i)13=[2ei(−π4+2kπ)]13=26ei(−π12+23kπ)\begin{aligned} (1-\mathrm i)^{\frac{1}{3}} &= \big[\sqrt{ 2 } \mathrm e^{ \mathrm i (-\frac{\pi}{4}+2k\pi) } \big]^{\frac{1}{3}} \\ &= \sqrt[6]{ 2 }\mathrm e^{ \mathrm i (-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi) } \end{aligned}

第二节 复变函数

复变函数的定义、连续性、极限这里不讲。复变函数与实函数只有一点不同，就是允许 多值函数 的存在，也就是一个自变量对应多个因变量。

第三节 解析函数

设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)w=f(z)=u(x,y)+\mathrm iv(x,y)，则 C-R 方程 (柯西-黎曼方程) 为

∂u∂x=∂v∂y, ∂u∂y=−∂v∂x.\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}.

在z0z_{0} 解析：在z0z_{0} 邻域内处处可导，解析比可导要求更高。z0z_{0} 是 奇点：在z0z_{0} 不解析。下面给出解析的一些条件：

  • 区域DD 内任意一点可导⟹\Longrightarrow 在点x+iy∈Dx+\mathrm iy\in D 偏导数存在，满足 C-R 方程

  • 在区域DD 解析⟹\Longrightarrow 在区域DD 偏导数存在，满足 C-R 方程

  • 在点x+iyx+\mathrm iy 可微，满足 C-R 方程⟹\Longrightarrow 在点x+iyx+\mathrm iy 可导，且导数为∂u∂x+i∂v∂x=−i∂u∂y+∂v∂x.\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial v}{\partial x}= -\mathrm i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.

  • 在区域DD 可微或具有一阶连续偏导数，满足 C-R 方程⟹\Longrightarrow 在区域DD 解析

例 1 判断函数f(z)=x2−iyf(z)=x^{2}-\mathrm iy 何处可导，何处解析。

设∂u∂x=∂v∂y\cfrac{\partial u}{\partial x}=\cfrac{\partial v}{\partial y}，即2x=−12x=-1，得x=−12x=-\cfrac{1}{2}，因此在x=−12x=-\cfrac{1}{2} 可导，处处不解析。

例 2 已知函数f(z)=f(z)=

第四节 复变初等函数

指数函数ez=exp⁡z=ex(cos⁡y+isin⁡y)\boxed{\mathrm e^{z}=\exp z=\mathrm e^{x}(\cos y+\mathrm i\sin y)}，这是周期为2kπi2k\pi \mathrm i 的周期函数，处处解析。

对数函数Ln⁡z=ln⁡∣z∣+iArg⁡z\boxed{\operatorname{Ln}z=\ln|z|+\mathrm i\operatorname{Arg}z}，它的定义是指数函数的反函数。由于指数函数有周期性，所以对数函数是个 多值函数，任意两个值相差2πi2\pi \mathrm i 的整数倍。

可以发现问题出在Arg⁡z\operatorname{Arg}z 上，如果取主值arg⁡z\arg z，则Ln⁡z\operatorname{Ln}z 为单值函数，记作ln⁡z\ln z，有ln⁡z=ln⁡∣z∣+arg⁡z\boxed{\ln z=\ln|z|+\arg z}。ln⁡z\ln z 称作Ln⁡z\operatorname{Ln}z 的主值，Ln⁡z\operatorname{Ln}z 的其余各值Ln⁡z=ln⁡z+2kπi\operatorname{Ln}z=\ln z+2k\pi \mathrm i 称作Ln⁡z\operatorname{Ln}z 的分支。

对数函数的各个分支在除去原点与负实轴的复平面内处处连续且解析，且(Ln⁡z)′=1z(\operatorname{Ln}z)'=\cfrac{1}{z}。

幂函数zb=ebLn⁡z\boxed{z^{b}=\mathrm e^{b\operatorname{Ln}z}}，在各个分支在除去原点与负实轴的复平面内处处连续且解析。

三角函数cos⁡z=eiz+e−iz2,sin⁡z=eiz−e−iz2i\boxed{\cos z=\frac{\mathrm e^{\mathrm iz}+\mathrm e^{-\mathrm iz}}{2},\sin z=\frac{\mathrm e^{\mathrm iz}-\mathrm e^{-\mathrm iz}}{2\mathrm i}}，处处解析，性质与实函数基本相同，注意有界性不再成立。

双曲函数ch⁡z=ez+e−z2,sh⁡z=ez−e−z2\boxed{\operatorname{ch} z=\frac{\mathrm e^{z}+\mathrm e^{-z}}{2},\operatorname{sh} z=\frac{\mathrm e^{z}-\mathrm e^{-z}}{2}}，处处解析，有(ch⁡z)′=sh⁡z, (sh⁡z)′=ch⁡z(\operatorname{ch}z)'=\operatorname{sh}z,\ (\operatorname{sh}z)'=\operatorname{ch}z，且cos⁡iy=ch⁡y, sin⁡iy=ish⁡y\cos \mathrm iy=\operatorname{ch}y,\ \sin \mathrm iy=\mathrm i\operatorname{sh}y。

反三角、双曲函数

{Arccos⁡z=−iLn⁡(z+z2−1)Arcsin⁡z=−iLn⁡(iz+1−z2)Arctan⁡z=−i2Ln⁡1+iz1−izArch⁡z=Ln⁡(z+z2−1)Arsh⁡z=Ln⁡(z+z2+1)Arth⁡z=12Ln⁡1+z1−z\begin{cases} \operatorname{Arccos}z=-\mathrm i\operatorname{Ln}(z+\sqrt{ z^{2}-1 } ) \\ \operatorname{Arcsin}z=-\mathrm i\operatorname{Ln}(\mathrm iz+\sqrt{ 1-z^{2} }) \\ \operatorname{Arctan}z=-\cfrac{\mathrm i}{2}\operatorname{Ln}\cfrac{1+\mathrm iz }{1-\mathrm iz } \\ \operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln}(z+\sqrt{ z^{2}-1 }) \\ \operatorname{Arsh}z=\operatorname{Ln}(z+\sqrt{ z^{2}+1 }) \\ \operatorname{Arth}z=\cfrac{1}{2}\operatorname{Ln}\cfrac{1+z }{1-z } \end{cases}

第五节 复变函数的积分

实函数部分的积分公式仍然成立，包括求定积分的牛顿—莱布尼兹公式。

变量代换法 将被积曲线化参数方程，则

∫Cf(z)dz=∫αβf[z(t)]z′(t)dt\int_{C}f(z)\mathrm dz=\int_{\alpha}^{\beta}f[z(t)]z'(t)\mathrm dt

柯西—古萨基本定理 函数f(z)f(z) 在曲线CC 及其内部