返回目录

第二章 连续时间系统的时域分析

2.1 系统微分方程的经典解

首先回忆我们在电子电路中提到的概念：

设通解y=yh+ypy = y_{\mathrm h} + y_{\mathrm p}，其中yhy_{\mathrm h} 表示 齐次解 (homogeneous solution)，ypy_{\mathrm p} 表示 莉解 (larticular solution)†^{\dagger}，将初始条件，代入通解，进而有 伟解 (varticular solution)．
莉解 (larticular solution)，指 张莉 (Zhang Li) 在电子电路基础 (Dianzi Dianlu Jichu, Electronic and Circuit Foundation) 课上讲述的 特解 (particular solution)，即针对非齐次方程的非零右侧项而特别构造的解，与齐次解相对应；
而 伟解 (varticular solution)，指 陈伟 (Chen Wei) 在高等数学 (Gaodeng Shuxue, advanced mathematics) 课上讲述的 特解 (particular solution)，即在给定特定的初始条件或边界条件后，调整任意常数来满足这些条件的解．
这两者使用了相同的名词，但概念大相径庭，因此在本笔记中，用莉解和伟解分别代指这两个概念．

由于 《信号与系统》 与《高等数学》《电子电路（上）》类似，是门数学课，因此我们沿用 莉解 和 伟解 这两个概念．

2.1.1 微分方程的经典解

对于微分方程

∑i=0naiy(i)(t)=∑j=0mbjf(j)(t)\sum_{i=0}^{n} a_{i}y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m} b_{j}f^{(j)}(t)

的齐次解、莉解和全解，在《高等数学》中已经给出并详细证明，这里只给出结论：

设齐次方程

∑i=0naiy(i)(t)=0\sum_{i=0}^{n} a_{i}y^{(i)}(t)=0

对应的特征方程

∑i=0naiλi=0\sum_{i=0}^{n} a_{i}\lambda^{i}=0

有eie_{i} 重根λi\lambda_{i}，则齐次解

yh(t)=∑eλit∑j=0ei−1Cijtj,y_{\mathrm h}(t)=\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{ij}t^{j},

对于共轭根λi±iβi\lambda_{i}\pm \mathrm i\beta_{i}，只需乘上系数Aicos⁡(βit−θi)A_{i}\cos(\beta_{i}t-\theta_{i}) 或(Aicos⁡βit+Bicos⁡βit)(A_{i}\cos\beta_{i}t+B_{i}\cos\beta_{i}t)，式中Cij,Ai,Bi,θiC_{ij},A_{i},B_{i},\theta_{i} 为常数，结合初始条件解出常数，就能得到伟解．

而莉解的形式由非齐次项e(t)=∑j=0mbjf(j)(t)e(t)=\sum \limits_{j=0}^{m} b_{j}f^{(j)}(t) 确定，

e(t)yp(t)EPeαtPeαtcos⁡(ωt)Pcos⁡(ωt−θ)\begin{array}{cc} e(t) & y_{\mathrm p }(t) \\ \hline E & P \\ \mathrm e^{\alpha t} & P\mathrm e^{\alpha t} \\ \cos(\omega t) & P\cos(\omega t-\theta) \\ \end{array}

上表给出了一些简单的非齐次项对应的莉解，表中P=∑i=0ePitiP=\sum \limits_{i=0}^{e}P_{i}t^{i}，其中PiP_{i} 是待定常数，ee 表示α±iω\alpha\pm\mathrm i\omega 为特征方程的ee 重特征根．

2.1.2 初始状态与初始条件

设激励e(t)e(t) 在t=0t=0 时加入，则

  • y(0−)y(0_{-}) 表示 初始状态，反映历史信息而与激励无关；
  • y(0+)y(0_{+}) 表示 初始条件，由初始状态和激励共同决定，即 初始条件 = 初始状态 + 跳变量，用于确定齐次解待定系数．

跳变量 发生跳变的条件是微分方程右端含δ(t)\delta(t) 及其各阶导数，用δ\pmb\delta 函数平衡法 确定跳变量．

2.2 零输入响应和零状态响应

2.2.1 零输入响应

零输入响应yzi(t)y_{\mathrm{zi}}(t) (zero-input) 没有外加激励的作用，仅由初始状态所引起的响应．

求解方法 先求出齐次解，解的形式为

yzi(t)=∑eλit∑j=0ei−1Cijxtj,y_{\mathrm{zi}}(t)=\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{ij\mathrm x }t^{j},

因为没有输入，故 初始条件 = 初始状态，有

yzi(i)(0+)=yzi(i)(0−)=y(i)(0−).y_{\mathrm{zi}}^{(i)}(0_{+})=y^{(i)}_{\mathrm{zi}}(0_{-})=y^{(i)}(0_{-}).

代入初始条件解出常数CC，得到的伟解即是零输入响应．

2.2.2 零状态响应

零状态响应yzs(t)y_{\mathrm{zs}}(t) (zero-state) 系统的初始状态为00，仅由激励e(t)e(t) 所引起的响应．

求解方法 先求出齐次解，再根据激励求出莉解，解的形式为

yzi(t)=∑eλit∑j=0ei−1Cstj+yp(t),y_{\mathrm{zi}}(t)=\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{\mathrm s}t^{j}+y_{\mathrm p }(t),

此时 初始条件 = 跳变量，有

{yzs(i)(0−)=0,yzs(i)(0+)=∨y(i)(0).\begin{cases} y^{(i)}_{\mathrm{zs}}(0_{-})=0, \\ y_{\mathrm{zs}}^{(i)}(0_{+})=\vee y^{(i)}(0). \end{cases}

代入初始条件解出常数CC，得到的伟解即是零状态响应．

2.2.3 全响应

全响应y(t)y(t) 由初始状态和激励共同作用引起的响应．全响应有三种分解方法，分别是自由响应（齐次解） + 强迫响应（莉解）、零输入响应 + 零状态响应，以及暂态响应 + 稳态响应．

求解方法 先求零输入响应和零状态响应，相加就是全响应，解的形式为

y(t)=yh(t)+yp(t)=∑eλit∑j=0ei−1Ctj+yp(t)=yzi(t)+yzs(t)=∑eλit∑j=0ei−1Cijxtj+∑eλit∑j=0ei−1Cstj+yp(t).\begin{aligned} y(t) &= y_{\mathrm h }(t)+y_{\mathrm p }(t) = \sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} Ct^{j}+y_{\mathrm p }(t) \\ &= y_{\mathrm{zi}}(t)+y_{\mathrm{zs}}(t) =\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{ij\mathrm x }t^{j}+\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{\mathrm s}t^{j}+y_{\mathrm p }(t). \end{aligned}

当然，全响应也可以直接求得，利用 初始条件 = 初始状态 + 跳变量，有

y(i)(0+)=y(i)(0−)+∨y(i)(0).y^{(i)}(0_{+})=y^{(i)}(0_{-})+\vee y^{(i)}(0).

具体地，设用δ\delta 函数平衡法确定的跳变量

y(0)=∑i=0∞aiδ(i)(t),y(0)=\sum_{i=0}^{\infty} a_{i}\delta^{(i)}(t),

则

∨y(i)(0)=ai,\vee y^{(i)}(0)=a_{i},

所以

yzs(i)(0+)=yzs(i)(0−)+ai.y_{\mathrm{zs}}^{(i)}(0_{+})=y^{(i)}_{\mathrm{zs}}(0_{-})+a_{i}.

将初始条件代入

y(t)=∑eλit∑j=0ei−1Ctj+yp(t),y(t)=\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} Ct^{j}+y_{\mathrm p }(t),

得到的伟解即是全响应．

2.3 冲激响应和阶跃响应

2.3.1 冲激响应

冲激响应h(t)h(t) 单位 冲激函数δ(t)\delta(t) 所引起的 零状态响应．

此时系统方程的一般形式为

∑k=0nakh(k)(t)=∑k=0mbkδ(k)(t).\sum_{k=0}^{n} a_{k}h^{(k)}(t)=\sum_{k=0}^{m} b_{k}\delta^{(k)}(t).

求解方法 由于激励信号δ(t)\delta(t) 在t>0t>0 时为零，所以冲激响应h(t)h(t) 解的形式与齐次解的形式基本相同，但需要根据次数m,nm,n 补充冲激函数及其各阶导数．具体地，

h(t)=∑eλit∑j=0ei−1Cijxtjε(t)+∑k=0m−nCkδ(k)(t).h(t)=\sum\mathrm e^{\lambda_{i}t} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{ij\mathrm x }t^{j}\varepsilon(t)+\sum_{k=0} ^{m-n}C_{k}\delta^{(k)}(t).

上式的第一项即是齐次解，第二项是莉解，它的各项系数CkC_{k} 可以由初始条件确定，这里初始条件等于跳变量．

另一种（或许更加简便的）做法是，首先求

∑k=0nakh0(k)(t)=δ(t)\sum_{k=0}^{n} a_{k}h_{0}^{(k)}(t)=\delta(t)

的冲激响应h0(t)h_{0}(t)，于是原方程的冲激响应为

h(t)=∑k=0mbkh0(k)(t).h(t)=\sum_{k=0}^{m} b_{k}h_{0}^{(k)}(t).

这与第一种做法相比，求冲激响应时m=0m=0，不需要求第二项莉解的各项系数CkC_{k}，但是后续需要对h0(t)h_{0}(t) 多次求导．

2.3.2 阶跃响应

阶跃响应g(t)g(t) 由单位阶跃函数ε(t)\varepsilon(t) 所引起的零状态响应．

由于

ε(t)=∫−∞tδ(τ)dτ,\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\mathrm d\tau ,

因此

g(t)=∫−∞th(τ)dτ,\boxed{g(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)\mathrm d\tau} ,

例 已知某 LIS 系统的单位阶跃响应为g(t)=e−2tε(t−1)g(t)=\mathrm e^{-2t}\varepsilon(t-1)，求单位冲激响应h(t)h(t)．

解

h(t)=g′(t)=−2te−2tε(t−1)+e−2tδ(t−1)=−2te−2tε(t−1)+e−2δ(t−1).\begin{aligned} h(t)=g'(t) &=-2t\mathrm e^{-2t}\varepsilon(t-1)+\mathrm e^{-2t}\delta(t-1) \\ &=-2t\mathrm e^{-2t}\varepsilon(t-1)+\mathrm e^{-2}\delta(t-1). \end{aligned}

2.4 卷积积分

2.4.1 卷积的定义及其积分限的确定

设f1(t),f2(t)f_{1}(t),f_{2}(t) 是定义在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 区间上的连续函数，定义它们的 卷积

f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ.\boxed{ f_{1}(t)*f_{2}(t)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau) \mathrm d\tau} .

如果要求f1(τ)f2(t−τ)f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau) 非零，就能得到τ\tau 的范围．卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和．

2.4.2 卷积的图示法

不会用电脑画图，此部分从略．

2.4.3 借助冲激响应和线性时不变求解系统的零状态响应

卷积积分的物理意义 将激励信号e(t)e(t) 分解为无穷多个冲激信号之和，借助系统的冲激响应、线性、时不变性质求解系统对任意信号激励下的零状态响应yzs(t)y_{\mathrm{zs}}(t)，有

yzs(t)=e(t)∗h(t).\boxed{y_{\mathrm{zs}}(t)=e(t)*h(t)}.

例 已知某 LTI 系统的单位阶跃响应g(t)=e−2(t−1)ε(t)g(t)=\mathrm e^{-2(t-1)} \varepsilon(t)，求当激励信号e(t)=δ(t)−2ε(t−1)e(t)=\delta(t)-2 \varepsilon(t-1) 时，系统的零状态响应。

解

h(t)=g′(t)=e2[δ(t)−2e−2t]ε(t),⟹y(t)=h(t)−2g(t−1)=e2δ(t)−2e−2(t−1)ε(t)−2e−2(t−2)ε(t−1).\begin{aligned} h(t) &= g'(t)=\mathrm e^{2}\big[\delta(t)-2 \mathrm e^{-2t}\big] \varepsilon(t), \\ \Longrightarrow y(t) &= h(t)-2 g(t-1) \\ &= \mathrm e^2 \delta(t)-2 \mathrm e^{-2(t-1)} \varepsilon(t)-2 \mathrm e^{-2(t-2)} \varepsilon(t-1). \end{aligned}

2.5 卷积积分的性质

  1. 卷积满足交换律、结合律和对加法的分配律．nn 个信号相加作用于系统产生的零状态响应，等于nn 个信号分别作用于系统产生的nn 个零状态响应之和．nn 个子系统并联组成的系统，其冲激响应等于各子系统冲激响应之和．

  2. 函数与冲激函数的卷积：

f(t)∗δ(n)(t−t0)=f(n)(t−t0).f(t)*\delta^{(n)}(t-t_{0})=f^{(n)}(t-t_{0}).

  1. 卷积的微分和积分：

f(i)(t)=f1(j)(t)∗f2(i−j)(t)=f1(i−j)(t)∗f2(j)(t).f^{(i)}(t)=f_{1}^{(j)}(t)*f_{2}^{(i-j)}(t)=f_{1}^{(i-j)}(t)*f_{2}^{(j)}(t).

  1. 卷积的时移特性：

f1(t−t0)∗f2(t)=y(t−t0)=f1(t)∗f2(t−t0).f_{1}(t-t_{0})*f_{2}(t)=y(t-t_{0})=f_{1}(t)*f_{2}(t-t_{0}).



返回目录

2024-09-13：［和師姐一起學數學］信号与系统 第一章 信号与系统的基本概念
2024-10-16：［和師姐一起學數學］信号与系统 第二章 连续时间系统的时域分析（本篇）
2024-10-21：［和師姐一起學數學］信号与系统 第三章 离散时间系统的时域分析
2024-10-22：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（上）
2024-11-17：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（下）
2024-11-18：［和師姐一起學數學］信号与系统 第五章 连续时间信号与系统的复频域分析