［和師姐一起學數學］信号与系统 第五章 连续时间信号与系统的复频域分析

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第五章 连续时间信号与系统的复频域分析

5.1 连续时间信号的复频域分析——拉普拉斯变换

5.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换

回忆，$f(t)$ 的傅里叶变换存在的充分条件是 $f(t)$ 绝对可积，如果 $f(t)$ 不满足绝对可积，可以先乘上一个 衰减因子 $\mathrm e^{-\sigma t}$，满足 $f(t)\mathrm e^{-\sigma t}$ 绝对可积后再做傅里叶变换，

$$
\mathscr{F}[f(t)\mathrm e^{-\sigma t}]
= \int_{-\infty}^{+\infty}
f(t)\mathrm e^{-(\sigma+\mathrm i\omega)t}
\mathrm dt,
$$

这是关于 $\sigma$ 和 $\mathrm i\omega$ 的函数，若记复数 $s=\sigma+\mathrm i\omega$，

$$
F(s)
= \int_{-\infty}^{+\infty}
f(t)\mathrm e^{-st}
\mathrm dt,
$$

这就是 拉普拉斯变换 ，$F(s)$ 是个复变函数，也称为 $f(t)$ 的 象函数。

由傅里叶反变换

$$
f(t)\mathrm e^{-\sigma t}
=\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^{+\infty}
F(\sigma+\mathrm i\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega t}
\mathrm d\omega
$$

结合 $\mathrm ds=\mathrm i\mathrm d\omega$，得到 $\mathrm d\omega=-\mathrm i\mathrm ds$ 及 $s\in(\sigma-\mathrm i\infty,\sigma+\mathrm i\infty)$，进而

$$
f(t)
=\frac{1}{2\pi \mathrm i}
\int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty}
F(s)\mathrm e^{st} ,
\mathrm ds
$$

这就是 拉普拉斯反变换 ，时间函数 $f(t)$ 称为 $F(s)$ 的 原函数。

拉普拉斯变换建立了时域与复频域间的关系，但它仅仅是工具，无明确的物理意义。拉普拉斯变换可理解为广义的傅里叶变换，傅里叶变换可理解为虚轴上的拉普拉斯变换。

5.1.2 拉普拉斯变换的收敛域

$f(t)$ 的拉普拉斯变换存在的充分条件是 $f(t)\mathrm e^{-\sigma t}$ 绝对可积。

定义 收敛域 为使 $f(t)$ 的 $F(s)$ 存在的 $\mathrm{Re}[s]=\sigma$ 的取值范围。求信号的双边拉普拉斯变换时，要同时给出收敛域，即任意信号和它的双边拉普拉斯变换连同收敛域才是一一对应的。

因果信号 $f(t)=\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t),\ \alpha\in\mathbb R$ 的拉普拉斯变换

$$
\begin{aligned}
F(s)
&= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt \
&= \int_{0}^{+\infty}\mathrm e^{\alpha t}\mathrm e^{-st}\mathrm dt \
&= \frac{1}{-(s-\alpha)}\mathrm e^{-(s-\alpha)t} \bigg|{0}^{+\infty} \
&= \frac{1}{-(s-\alpha)}\Big[1-\lim{t\to\infty}\mathrm e^{-(\sigma-\alpha)t}\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\Big], \
\end{aligned}
$$

若 $\sigma>\alpha$，上式等于 $\dfrac{1}{s-\alpha}$；若 $\sigma=\alpha$，不定；若 $\sigma<\alpha$，发散。

又如反因果信号 $f(t)=-\mathrm e^{-\alpha t}\varepsilon(-t),\ \alpha\in\mathbb R$ 的拉普拉斯变换，若 $\sigma<\alpha$，结果是 $\dfrac{1}{s-\alpha}$；若 $\sigma=\alpha$，不定；若 $\sigma<\alpha$，发散。

再如双边信号 $f(t)=\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t)+\mathrm e^{\beta t}\varepsilon(-t),\ \alpha\in\mathbb R$ 的拉普拉斯变换仅在 $\alpha<\sigma<\beta$ 时存在。

双边拉普拉斯变换收敛条件比较苛刻，限制了其应用。因此引入单边拉普拉斯变换，后文中如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。

5.1.3 单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯正变换

$$
\boxed{
\mathscr{L}[f(t)]
= F(s)
= \int_{0_{-}}^{+\infty}
f(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt
}
$$

单边拉普拉斯反变换

$$
\mathscr{L}^{-1}[F(s)] = f(t) =
\begin{cases}
0 & t < 0 \
\displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm i}
\int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty}
F(s)\mathrm e^{st} \mathrm ds & t \geqslant 0
\end{cases}
$$

$f(t)$ 的单边拉普拉斯变换的结果和 $f(t)\varepsilon(t)$ 的双边拉普拉斯变换的结果是一样的，可以推知，单边拉普拉斯变换的收敛域在收敛轴的右侧，即 $\sigma>*$ 的形式。

5.1.4 常用信号的拉普拉斯变换

$$
\begin{array}{lll}
\mathscr{L}[f(t)]
& F(s) & \mathrm{Re}[s] > \\hline
\mathscr{L}[\varepsilon(t)]
& \cfrac{1}{s}
& -\infty \
\mathscr{L}[\delta(t)]
& 1
& -\infty \
\mathscr{L}[\delta’(t)]
& s
& 0 \
\mathscr{L}\big[g_{\tau}\big(t-\cfrac{\tau}{2}\big)\big]
& \cfrac{1-\mathrm e^{-s\tau}}{s}
& -\infty \
\mathscr{L}[\mathrm e^{-s_{0}t}\varepsilon(t)]
& \cfrac{1}{s-s_{0}}
& \mathrm{Re}[s_{0}] \
\mathscr{L}[\cos\omega_{0}t\varepsilon(t)]
& \cfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
& 0 \
\mathscr{L}[\sin\omega_{0}t\varepsilon(t)]
& \cfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}
& 0 \

\end{array}
$$

5.1.5 拉普拉斯变换的性质

下设 $\mathscr{L}[f(t)\varepsilon(t)]=F(s),\ \mathrm{Re}[s]>\sigma$。

一、线性性

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\mathscr{L}[\alpha_{1}f_{1}(t)+\alpha_{2}f_{2}(t)]
=\alpha_{1}\mathscr{L}[f_{1}(t)]+\alpha_{2}\mathscr{L}[f_{2}(t)],
\quad\
\mathrm{Re}[s]>\max\lbrace \sigma_{1},\sigma_{2} \rbrace
\end{aligned}
}
$$

二、坐标变换（时移、频移、尺变）

$$
\boxed{
\begin{array}{ll}
\mathscr{L}[f(t-t_{0})\varepsilon(t-t_{0})]
=F(s)\cdot\mathrm e^{-st_{0}},
&\mathrm{Re}[s]>\sigma \
\mathscr{L}[f(\alpha t)]=
\dfrac{1}{\alpha}F\Big(\dfrac{s}{\alpha}\Big),
&\mathrm{Re}[s]>\alpha\sigma \
\mathscr{L}[f(t)\cdot\mathrm e^{s_{0}t}]
=F(s-s_{0}),
&\mathrm{Re}[s]>\sigma+\mathrm{Re}[s_{0}] \
\end{array}}
$$

利用线性性质和时移性质能够得到 单边周期信号 的拉普拉斯变换。设

$$
f_{T}(t) = \sum_{n=0}^{\infty} f_{0} (t - nT) .
$$

若 $f_{0}(t)=F_{0}(s)$，则

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L} \big[f_{T}(t) \big]
&= \sum_{n=0}^{\infty} \mathscr{L}\big[f_{0}(t-nT) \big] \
&= \sum_{n=0}^{\infty} F_{0}(s) \cdot \mathrm e^{-snT} \
&= F_{0}(s) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm e^{-snT} \
&= \dfrac{1}{1-\mathrm e^{-sT}}F_{0}(s) . \
\end{aligned}
$$

例如，

$$
\boxed{
\mathscr{L} \big[\delta_{T}(t) \big]
= \dfrac{1}{1-\mathrm e^{-sT}} ,\quad \mathrm{Re}[s]>0
}
$$

三、时域频域的卷积、微积分定理

时域卷积性质

$$
\boxed{
\mathscr{L}[f_{1}(t)*f_{2}(t)]
=F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)
}
$$

频域卷积性质

$$
\mathscr{L}[f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)]
=\dfrac{1}{2\pi \mathrm i}F_{1}(s)* F_{2}(s)
$$

在复频域作卷积是困难的，这个性质很少用到。

利用卷积的微积分性质不难推得 时域微分性质

$$
\begin{aligned}
&\mathscr{L} \big[f’(t) \big]
= s F(s) - f(0_{-}) \
&\mathscr{L} \big[f’‘(t) \big]
= s^{2} F(s) - s f(0_{-}) - f’(0_{-}) \
& \dots \
& \boxed{
\mathscr{L} \big[f^{(n)}(t) \big]
= s^{n} F(s)

• \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-1-p} f^{(p)}(0_{-})
  }
  \end{aligned}
  $$

对于因果信号，$f(0_{-})=0$，

$$
\begin{aligned}
&\mathscr{L}\big[f’(t)\big]
=sF(s) \
&\mathscr{L}\big[f’'(t)\big]
=s^{2}F(s) \
&\dots \
&\boxed{\mathscr{L}\big[f^{(n)}(t)\big]
=s^{n}F(s)}
\end{aligned}
$$

时域积分性质

$$
\begin{aligned}
&\mathscr{L}\Big[\int_{-\infty}^{t}f(t)\mathrm dt \Big]
=\dfrac{1}{s}\big[F(s)+f^{(-1)}(0_{-})\big] \
&\mathscr{L}\Big[\int_{0_{-}}^{t}f(t)\mathrm dt \Big]
=\dfrac{1}{s}F(s)\
\end{aligned}
$$

复频域微积分性质

$$
\begin{aligned}
&\mathscr{L}\big[(-t)^{n}f(t)\big]
=\dfrac{\mathrm d^{n}}{\mathrm ds^{n}}F(s) \
&\mathscr{L}\Big[\dfrac{1}{t}f(\mathrm t)\Big]
=\int_{s}^{+\infty}F(s)\mathrm ds \
\end{aligned}
$$

5.1.6 初值定理与终值定理

初值定理 当函数 $f(t)$ 不含 $\delta(t)$ 及其各阶导数时，由 $F(s)$ 直接求初始条件 $f^{(n)}(0_{+})$，即

$$
\boxed{
\begin{aligned}
f^{(n)}(0_{+})
&= \lim_{s \to +\infty} s
\bigg[
s^{n} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-1-p} f^{(p)}(0_{+})
\bigg]
\end{aligned}
}
$$

证明：对 $f^{(n+1)}(t)$ 作拉普拉斯变换，一方面，根据定义，

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L} \big[f^{(n+1)}(t) \big]
&= \int_{0_{-}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt \
&= \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt

• \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt, \
  \end{aligned}
  $$

由于

$$
\begin{aligned}
\int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt
&= \Big[f^{(n)}(t) \mathrm e^{-st} \Big]
{0{-}}^{0_{+}}

• s
  \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n)}(t)
  \mathrm e^{-st}
  \mathrm dt \
  &= f^{(n)}(0_{+}) - f^{(n)}(0_{-}) \
  &+ s\Big[f^{(n-1)}(t) \mathrm e^{-st} \Big]
  {0{-}}^{0_{+}} + s^{2}
  \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n-1)}(t)
  \mathrm e^{-st}
  \mathrm dt \
  &= \cdots \
  &= \sum_{p=0}^{n} s^{n-p}
  \Big[f^{(p)}(0_{+}) - f^{(p)}(0_{-}) \Big],
  \end{aligned}
  $$

因此

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L} \big[f^{(n+1)}(t) \big]
&= \sum_{p=0}^{n} s^{n-p}
\Big[f^{(p)}(0_{+}) - f^{(p)}(0_{-}) \Big]

• \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt.
  \end{aligned}
  $$

另一方面，根据拉普拉斯变换的时域微分性质，

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L} \big[f^{(n+1)}(t) \big]
= s^{n+1} F(s)

• \sum_{p=0}^{n} s^{n-p} f^{(p)}(0_{-}).
  \end{aligned}
  $$

对比上面两式，约去 $f^{(p)}(0_{-})$ 项，有

$$
s^{n+1} F(s)
= \sum_{p=0}^{n} s^{n-p}
f^{(p)}(0_{+})

• \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt.
  $$

即

$$
\begin{aligned}
f^{(n)}(0_{+})
&= s^{n+1} F(s)

• \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-p}
  f^{(p)}(0_{+})
• \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt.
  \end{aligned}
  \tag{1}
  $$

为证明初值定理，在 $(1)$ 式两端取极限 $s \to +\infty$，并结合

$$
\lim_{s \to +\infty}
\int_{0_{+}}^{+\infty}
f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st}
\mathrm dt
= \int_{0_{+}}^{+\infty}
f^{(n+1)}(t)
\Big[\lim_{ s \to +\infty} \mathrm e^{-st} \Big]
\mathrm dt
= 0,
$$

就有

$$
\begin{aligned}
f^{(n)}(0_{+})
&= \lim_{s \to +\infty}
\bigg[
s^{n+1} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-p} f^{(p)}(0_{+})
\bigg] \
&= \lim_{s \to +\infty} s
\bigg[
s^{n} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-1-p} f^{(p)}(0_{+})
\bigg], \
\end{aligned}
$$

这就证明了初值定理。

终值定理 给出了由 $F(s)$ 判断 $f(+\infty)$ 是否存在的方法，即只有当 $F(s)$ 在 $s$ 的右半平面或 $\mathrm i\omega$ 虚轴上不存在极点时（原点处 $s=0$ 的一阶极点除外），$f(+\infty)$ 才存在，即为有限常数，

$$
\boxed{
f(+\infty)
= \lim_{s \to 0} sF(s)
}
$$

在 $(1)$ 式两端取极限 $s \to 0$，并取 $n=0$，就证明了终值定理。

5.2 单边拉普拉斯反变换

求单边拉普拉斯反变换，可以由反变换的公式并利用复变函数中的留数定理。但这较困难，对数学的要求较高，下面介绍一种常用且简单的方法，裂项（部分分式展开）。

如果象函数 $F(s)$ 是有理分式，设其一般形式为

$$
F(s)
=\dfrac{B_{m}(s)}{A_{n}(s)}
=\dfrac{\sum_{k=0}^{m} b_{k}s^{k}}
{\sum_{k=0}^{n} a_{k}s^{k}}
$$

如果是假分式，即 $m \geqslant n$，先作多项式除法分解为有理多项式和有理真分式。下设 $m<n$。

设 $A_{n}(s)=0$ 有 $e_{i}$ 重根 $s_{i}$，则 $F(s)$ 可展开（裂项）为

$$
\boxed{
F(s)=
\sum_{i=0}^{\sum e_{i}=n}
\sum_{j=0}^{e_{i}-1}
\dfrac{k_{ij}}{(s-s_{i})^{j+1}}
}
$$

其中系数可以通过直接配凑，或将原式作变形再两边求导求得，其一般形式为

$$
k_{ij}
=\dfrac{1}{j!}
\dfrac{\mathrm d^{j}}{\mathrm ds^{j}}
(s-s_{i})^{e_{i}}F(s)
\bigg|{s=s{i}}.
$$

现在只需求 $f(s)=\cfrac{1}{(s-s_{0})^{n+1}}$ 的拉普拉斯反变换。

回忆，$\mathscr{L}[\varepsilon(t)]=\cfrac{1}{s}$，对阶跃函数积分，

$$
\varepsilon^{-1}(t)
= \int_{-\infty}^{t}\varepsilon(\tau)\mathrm d\tau
= t\varepsilon(t),
$$

结合拉普拉斯变换的时域积分性质，有

$$
\mathscr{L}\big[\varepsilon^{-1}(t)\big]
= \frac{1}{s^{2}}.
$$

继续积分并做拉普拉斯变换，

$$
\mathscr{L}\big[\varepsilon^{-2}(t)\big]
= \mathscr{L}\Big[\frac{1}{2}t^{2}\varepsilon(t)\Big]
= \frac{1}{s^{3}},
$$

即

$$
\mathscr{L}\big[t^{2}\varepsilon(t)\big]
= \frac{2}{s^{3}},
$$

可以再写几项观察观察。利用数学归纳法不难证明

$$
\mathscr{L}\big[t^{n}\varepsilon(t)\big]
= \frac{n!}{s^{n+1}},
$$

进一步地，

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\mathscr{L}
\big[\mathrm e^{s_{0}t} t^{n}\varepsilon(t)\big]
&= \frac{n!}{(s-s_{0})^{n+1}} \
\mathscr{L}^{-1}
\bigg[\frac{1}{(s-s_{0})^{n+1}}\bigg]
&= \frac{1}{n!}\mathrm e^{s_{0}t} t^{n}\varepsilon(t)
\end{aligned}
}
$$

例 2 求 $F(s)=\dfrac{s}{s^2+s+1}$ 的原函数。

解 方程 $s^2+s+1$ 有一对共轭根 $s_{0,1}=-\cfrac{1}{2}\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i$，设

$$
\small
\begin{aligned}
F(s)
&= \frac{k_{0}}{s-(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)}+\frac{k_{1}}{s-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)},
\end{aligned}
$$

其中

$$
\small
\begin{aligned}
k_{0}
&= \Big[s-\Big(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i\Big)\Big]
F(s)\Bigg|{s=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i} \
&= \frac{s}{s-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)}
\Bigg|{s=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i} \
&= \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i , \
k_{1}
&= \frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i ,
\end{aligned}
$$

作拉普拉斯反变换，得

$$
\small
\begin{aligned}
f(t)
&= \bigg[
\Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big)
\mathrm e^{(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)t}

• \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big)
  \mathrm e^{(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)t}
  \bigg]\varepsilon(t) \
  &= \mathrm e^{\frac{1}{2}t}
  \bigg[
  \Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big)
  \mathrm e^{\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm it}
• \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big)
  \mathrm e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm it}
  \bigg]\varepsilon(t) \
  &= \mathrm e^{\frac{1}{2}t}
  \Big[\cos\frac{\sqrt{3}}{2} t
  -\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\Big]
  \varepsilon(t). \
  \end{aligned}
  $$

上面的运算过程十分繁琐，其实是因为忽略了共轭根「共轭」的性质。

事实上，$k_{0}=k_{1}^{*}$。我们考虑一般情形，如果共轭根为 $s=\alpha\pm\beta\mathrm i$，那么 $F(s)$ 可以表示为

$$
F(s)
= \dfrac{2\mathrm{Re}k_{0}\cdot(s-\alpha)}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}}

• \dfrac{2\mathrm{Im}k_{0}\cdot\beta}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}}.
  $$

回忆三角函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换的频移性质，

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}[\cos\omega_{0}t]
&= \dfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} \
\mathscr{L}[\sin\omega_{0}t]
&= \dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} \
\mathscr{L}[\mathrm e^{-\alpha t}\cos\omega_{0}t]
&= \dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{0}^{2}} \
\mathscr{L}[\mathrm e^{-\alpha t}\sin\omega_{0}t]
&= \dfrac{\omega_{0}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{0}^{2}} \
\end{aligned}
$$

作拉普拉斯反变换，得

$$
\begin{aligned}
f(t)
&= \mathrm e^{-\alpha t} \cdot
\big[
2\mathrm{Re}k_{0}\cos\beta t

• 2\mathrm{Im}k_{0}\sin\beta t
  \big]
  \varepsilon(t) \
  &= \mathrm e^{-\alpha t} \cdot
  2|k_{0}|\cos(\beta t+\arg k_{0})
  \varepsilon(t). \
  \end{aligned}
  $$

这样能大大降低运算量。

对于例 2，共轭根 $s=-\cfrac{1}{2}\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i$，设

$$
F(s)
=\frac{A(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}
-\frac{B\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}
$$

由 $s=A\big(s+\cfrac{1}{2}\big)-B\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $A=1,\ B=\cfrac{1}{\sqrt{ 3}}$，作拉普拉斯反变换，得

$$
f(t)
= \mathrm e^{-\frac{1}{2} t}
\Big[\cos\frac{\sqrt{3}}{2} t
-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\Big]
\varepsilon(t).
$$

多重共轭根并不常见，其形式也很复杂，感兴趣的读者可以自行推导。

如果 $F(s)$ 不是有理分式，一般也可以将其拆成若干基本信号的象函数之和的形式。这里说一般是因为，类似于不定积分，许多函数的原函数不是初等函数。

例 3 求 $F(s)=\cfrac{1-\mathrm e^{-2s}}{s^{2}+\pi^{2}}$ 的原函数。

解 分子上的 $\mathrm e^{-t_{0}s}$ 可能是时变产生的，

$$
F(s)
= \dfrac{1}{\pi}
\bigg[\dfrac{\pi}{s^{2}+\pi^{2}}
-\dfrac{\pi\mathrm e^{-2s}}{s^{2}+\pi^{2}}\bigg],
$$

作拉普拉斯反变换，得

$$
\begin{aligned}
f(t)
&= \dfrac{1}{\pi}\sin \pi t\varepsilon(t)

• \dfrac{1}{\pi}\sin \pi (t-2)\varepsilon(t-2) \
  &= \dfrac{1}{\pi}\sin \pi t \cdot g_{2}(t-1).
  \end{aligned}
  $$

例 4 求 $F(s)=\cfrac{1}{s(1+\mathrm e^{-2s})}$ 的原函数。

解 回忆

$$
\mathscr{L}^{-1} \Big[\dfrac{1}{1-\mathrm e^{-sT}} \Big]
= \sum_{n=0}^{\infty} \delta (t - nT),
$$

作配凑使分母具有 $1-\mathrm e^{-sT}$ 的形式，

$$
\begin{aligned}
F(s)
&= \frac{1 - \mathrm e^{-2s}}{s(1 - \mathrm e^{-4s})} \
&= \bigg[\frac{1}{s} - \frac{\mathrm e^{-2s}}{s}\bigg]
\frac{1}{s(1 - \mathrm e^{-4s})},
\end{aligned}
$$

作拉普拉斯反变换，得

$$
f(t)
= \big[\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2)\big]

• \sum_{n=0}^{\infty} \delta (t - nT),
  $$

这是周期矩阵脉冲函数。

5.3 连续时间系统的复频域分析

5.3.1 系统微分方程的复频域求解

在微分方程

$$
\sum_{i=0}^{n} a_{i}y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m} b_{j}f^{(j)}(t),
\quad t \in[0_{-}, +\infty)
$$

两边做拉普拉斯变换，

$$
\sum_{i=0}^n a_i\bigg[s^i Y(s)-\sum_{p=0}^{i-1} s^{i-1-p} y^{(p)}(0_{-})\bigg]=\sum_{j=0}^m b_j s^j E(s),
$$

稍作整理，得到系统微分方程在复频域上的表示即

$$
Y(s)\sum_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum_{i=0}^n a_i\sum_{p=0}^{i-1}s^{i-1-p} y^{(p)}(0_{-})=E(s)\sum_{j=0}^{m}b_{j}s^{j},
$$

简记为

$$
Y(s) A(s) - M(s) = E(s) B(s),
$$

其中

$$
\begin{cases}
A(s) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} a_{i} s^{i}, \
M(s) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} a_{i} \sum_{p=0}^{i-1} s^{i-1-p} y^{(p)}(0_{-}), \
B(s) = \displaystyle\sum_{j=0}^{m} b_{j} s^{j}.
\end{cases}
$$

值得注意的是，$A(s)$ 表示响应端对应的特征方程，$B(s)$ 表示激励端对应的特征方程，$M(s)$ 表示初始状态，这三者都是关于 $s$ 的多项式，而 $E(s)$ 表示激励的拉普拉斯变换，其形式并不确定。

回忆，全响应有三种分解方法，分别是零输入响应 + 零状态响应，自由响应 + 强迫响应、以及暂态响应 + 稳态响应．第二章中已经介绍了在时域上直接求解的方法。

在复频域上，系统 全响应 、 零输入响应 和 零状态响应 的描述分别为

$$
\begin{cases}
Y(s) = \cfrac{M(s) + E(s) B(s)}{A(s)} \
Y_{\mathrm{zi}}(s) = \cfrac{M(s)}{A(s)} \
Y_{\mathrm{zs}}(s) = \cfrac{B(s)}{A(s)} E(s)
\end{cases}
$$

再做拉普拉斯反变换，即求原函数，就能得到时域上系统全响应、零输入响应和零状态响应。

时域解的形式由 $Y(s)$ 的极点决定，这包括 $A(s)$ 的极点和 $E(s)$ 的极点。其中 $A(s)$ 的极点决定系统的 自由响应 ，$E(s)$ 的极点决定系统的 强迫响应。

至于 暂态响应 或 稳态响应，需要依据具体形式判断。

5.3.2 系统函数

系统函数 $H(s) = \cfrac{B(s)}{A(s)}$，只与系统的结构、参数有关，而与激励、初始状态均无关，反映系统的固有特性。

一方面，$Y_{\mathrm{zs}}(s)=H(s)E(s)$ 在时域上的描述为 $y_{\mathrm{zs}}(t)=h(t)*e(t)$，因此 $H(s)$ 是时域上单位冲激响应 $h(t)$ 的拉普拉斯变换；

另一方面，$A(s)$ 是系统微分方程的响应端对应的特征方程，$B(s)$ 是激励端对应的特征方程，因此系统微分方程与 $H(s)$ 可以相互推知。

5.3.3 系统的复频域框图

回忆，系统模型可用数学表达式或框图法描述，连续系统中，$\int$ 是积分器，$x^{(j)}\overset{\int}{\to}x^{(j-1)}$，

$$
\begin{cases}
y(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}x^{(j)}(t) \
f(t)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}x^{(i)}(t)
\end{cases}
\Longrightarrow
\sum_{i=0}^{\infty} b_{i}y^{(i)}(t)
=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}f^{(j)}(t).
$$

在复频域中，积分器表示为 $1/s$，$s^{j}X(s)\overset{1/s}{\to}s^{j-1}X(s)$，（事实上时域积分，复频域上还需加上 $f^{(n)}(0_{-})$ 项，但考虑到微分方程与初始状态无关，因此常用零状态的复频域模型）

$$
\begin{cases}
Y(s) = \sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}s^{j}X(s) \
E(s) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}s^{i}X(s)
\end{cases}
\Longrightarrow
H(s)
= \dfrac{Y(s)}{E(s)}
= \dfrac{\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}s^{j}}
{\sum_{i=0}^{\infty} b_{i}s^{i}}.
$$

系统函数和系统特性

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2024-09-13：［和師姐一起學數學］信号与系统 第一章 信号与系统的基本概念
2024-10-16：［和師姐一起學數學］信号与系统 第二章 连续时间系统的时域分析
2024-10-21：［和師姐一起學數學］信号与系统 第三章 离散时间系统的时域分析
2024-10-22：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（上）
2024-11-17：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（下）
2024-11-18：［和師姐一起學數學］信号与系统 第五章 连续时间信号与系统的复频域分析（本篇）