［和師姐一起學數學］信号与系统 第五章 连续时间信号与系统的复频域分析

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第五章 连续时间信号与系统的复频域分析

5.1 连续时间信号的复频域分析——拉普拉斯变换

5.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换

回忆，$f(t)$ 的傅里叶变换存在的充分条件是$f(t)$ 绝对可积，如果$f(t)$ 不满足绝对可积，可以先乘上一个 衰减因子$\mathrm e^{-\sigma t}$，满足$f(t)\mathrm e^{-\sigma t}$ 绝对可积后再做傅里叶变换，

$$\mathscr{F}[f(t)\mathrm e^{-\sigma t}] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\mathrm e^{-(\sigma+\mathrm i\omega )t} \mathrm dt,$$

这是关于$\sigma$ 和$\mathrm i\omega$ 的函数，若记复数$s=\sigma+\mathrm i\omega$，

$$F(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\mathrm e^{-st} \mathrm dt,$$

这就是 拉普拉斯变换，$F(s)$ 是个复变函数，也称为$f(t)$ 的 象函数。

由傅里叶反变换

$$f(t)\mathrm e^{-\sigma t} =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\sigma+\mathrm i\omega )\mathrm e^{\mathrm i\omega t } \mathrm d\omega$$

结合$\mathrm ds=\mathrm i\mathrm d\omega$，得到$\mathrm d\omega=-\mathrm i\mathrm ds$ 及$s\in(\sigma-\mathrm i\infty,\sigma+\mathrm i\infty)$，进而

$$f(t) =\frac{1}{2\pi \mathrm i } \int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty} F(s)\mathrm e^{st} , \mathrm ds$$

这就是 拉普拉斯反变换，时间函数$f(t)$ 称为$F(s)$ 的 原函数。

拉普拉斯变换建立了时域与复频域间的关系，但它仅仅是工具，无明确的物理意义。拉普拉斯变换可理解为广义的傅里叶变换，傅里叶变换可理解为虚轴上的拉普拉斯变换。

5.1.2 拉普拉斯变换的收敛域

$f(t)$ 的拉普拉斯变换存在的充分条件是$f(t)\mathrm e^{-\sigma t}$ 绝对可积。

定义 收敛域 为使$f(t)$ 的$F(s)$ 存在的$\mathrm{Re}[s]=\sigma$ 的取值范围。求信号的双边拉普拉斯变换时，要同时给出收敛域，即任意信号和它的双边拉普拉斯变换连同收敛域才是一一对应的。

因果信号$f(t)=\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t),\ \alpha\in\mathbb R$ 的拉普拉斯变换

$$\begin{aligned} F(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt \\ &= \int_{0}^{+\infty}\mathrm e^{\alpha t}\mathrm e^{-st}\mathrm dt \\ &= \frac{1}{-(s-\alpha)}\mathrm e^{-(s-\alpha)t} \bigg|_{0}^{+\infty} \\ &= \frac{1}{-(s-\alpha)}\Big[1-\lim_{t\to\infty}\mathrm e^{-(\sigma-\alpha)t}\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\Big], \\ \end{aligned}$$

若$\sigma>\alpha$，上式等于$\dfrac{1}{s-\alpha}$；若$\sigma=\alpha$，不定；若$\sigma<\alpha$，发散。

又如反因果信号$f(t)=-\mathrm e^{-\alpha t}\varepsilon(-t),\ \alpha\in\mathbb R$ 的拉普拉斯变换，若$\sigma<\alpha$，结果是$\dfrac{1}{s-\alpha}$；若$\sigma=\alpha$，不定；若$\sigma<\alpha$，发散。

再如双边信号$f(t)=\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t)+\mathrm e^{\beta t}\varepsilon(-t),\ \alpha\in\mathbb R$ 的拉普拉斯变换仅在$\alpha<\sigma<\beta$ 时存在。

双边拉普拉斯变换收敛条件比较苛刻，限制了其应用。因此引入单边拉普拉斯变换，后文中如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。

5.1.3 单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯正变换

$$\boxed{ \mathscr{L}[f(t)] = F(s) = \int_{0_{-}}^{+\infty} f(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt }$$

单边拉普拉斯反变换

$$\mathscr{L}^{-1}[F(s)] = f(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ \displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm i } \int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty} F(s)\mathrm e^{st} \mathrm ds & t \geqslant 0 \end{cases}$$

$f(t)$ 的单边拉普拉斯变换的结果和$f(t)\varepsilon(t)$ 的双边拉普拉斯变换的结果是一样的，可以推知，单边拉普拉斯变换的收敛域在收敛轴的右侧，即$\sigma>*$ 的形式。

5.1.4 常用信号的拉普拉斯变换

$$\begin{array}{lll} \mathscr{L}[f(t)] & F(s) & \mathrm{Re}[s] > \\\hline \mathscr{L}[\varepsilon(t)] & \cfrac{1}{s} & -\infty \\ \mathscr{L}[\delta(t)] & 1 & -\infty \\ \mathscr{L}[\delta'(t)] & s & 0 \\ \mathscr{L}\big[g_{\tau}\big(t-\cfrac{\tau}{2}\big)\big] & \cfrac{1-\mathrm e^{-s\tau}}{s} & -\infty \\ \mathscr{L}[\mathrm e^{-s_{0}t}\varepsilon(t)] & \cfrac{1}{s-s_{0}} & \mathrm{Re}[s_{0}] \\ \mathscr{L}[\cos\omega_{0}t\varepsilon(t)] & \cfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} & 0 \\ \mathscr{L}[\sin\omega_{0}t\varepsilon(t)] & \cfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} & 0 \\ \end{array}$$

5.1.5 拉普拉斯变换的性质

下设$\mathscr{L}[f(t)\varepsilon(t)]=F(s),\ \mathrm{Re}[s]>\sigma$。

一、线性性

$$\boxed{ \begin{aligned} \mathscr{L}[\alpha_{1}f_{1}(t)+\alpha_{2}f_{2}(t)] =\alpha_{1}\mathscr{L}[f_{1}(t)]+\alpha_{2}\mathscr{L}[f_{2}(t)], \quad\\ \mathrm{Re}[s]>\max\lbrace \sigma_{1},\sigma_{2} \rbrace \end{aligned} }$$

二、坐标变换（时移、频移、尺变）

$$\boxed{ \begin{array}{ll} \mathscr{L}[f(t-t_{0})\varepsilon(t-t_{0})] =F(s)\cdot\mathrm e^{-st_{0}}, &\mathrm{Re}[s]>\sigma \\ \mathscr{L}[f(\alpha t)]= \dfrac{1}{\alpha}F\Big(\dfrac{s}{\alpha}\Big), &\mathrm{Re}[s]>\alpha\sigma \\ \mathscr{L}[f(t)\cdot\mathrm e^{s_{0}t}] =F(s-s_{0}), &\mathrm{Re}[s]>\sigma+\mathrm{Re}[s_{0}] \\ \end{array}}$$

利用线性性质和时移性质能够得到 单边周期信号 的拉普拉斯变换。设

$$f_{T}(t) = \sum_{n=0}^{\infty} f_{0} (t - nT) .$$

若$f_{0}(t)=F_{0}(s)$，则

$$\begin{aligned} \mathscr{L} \big[ f_{T}(t) \big] &= \sum_{n=0}^{\infty} \mathscr{L}\big[ f_{0}(t-nT) \big] \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} F_{0}(s) \cdot \mathrm e^{-snT} \\ &= F_{0}(s) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm e^{-snT} \\ &= \dfrac{1}{1-\mathrm e^{-sT}}F_{0}(s) . \\ \end{aligned}$$

例如，

$$\boxed{ \mathscr{L} \big[ \delta_{T}(t) \big] = \dfrac{1}{1-\mathrm e^{-sT}} ,\quad \mathrm{Re}[s]>0 }$$

三、时域频域的卷积、微积分定理

时域卷积性质

$$\boxed{ \mathscr{L}[f_{1}(t)*f_{2}(t)] =F_{1}(s)\cdot F_{2}(s) }$$

频域卷积性质

$$\mathscr{L}[f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)] =\dfrac{1}{2\pi \mathrm i}F_{1}(s)* F_{2}(s)$$

在复频域作卷积是困难的，这个性质很少用到。

利用卷积的微积分性质不难推得 时域微分性质

$$\begin{aligned} &\mathscr{L} \big[ f'(t) \big] = s F(s) - f(0_{-}) \\ &\mathscr{L} \big[ f''(t) \big] = s^{2} F(s) - s f(0_{-}) - f'(0_{-}) \\ & \dots \\ & \boxed{ \mathscr{L} \big[ f^{(n)}(t) \big] = s^{n} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-1-p} f^{(p)}(0_{-}) } \end{aligned}$$

对于因果信号，$f(0_{-})=0$，

$$\begin{aligned} &\mathscr{L}\big[f'(t)\big] =sF(s) \\ &\mathscr{L}\big[f''(t)\big] =s^{2}F(s) \\ &\dots \\ &\boxed{\mathscr{L}\big[f^{(n)}(t)\big] =s^{n}F(s)} \end{aligned}$$

时域积分性质

$$\begin{aligned} &\mathscr{L}\Big[ \int_{-\infty}^{t}f(t)\mathrm dt \Big] =\dfrac{1}{s}\big[F(s)+f^{(-1)}(0_{-})\big] \\ &\mathscr{L}\Big[ \int_{0_{-}}^{t}f(t)\mathrm dt \Big] =\dfrac{1}{s}F(s)\\ \end{aligned}$$

复频域微积分性质

$$\begin{aligned} &\mathscr{L}\big[(-t)^{n}f(t)\big] =\dfrac{\mathrm d^{n}}{\mathrm ds^{n}}F(s) \\ &\mathscr{L}\Big[\dfrac{1}{t}f(\mathrm t)\Big] =\int_{s}^{+\infty}F(s)\mathrm ds \\ \end{aligned}$$

5.1.6 初值定理与终值定理

初值定理 当函数$f(t)$ 不含$\delta(t)$ 及其各阶导数时，由$F(s)$ 直接求初始条件$f^{(n)}(0_{+})$，即

$$\boxed{ \begin{aligned} f^{(n)}(0_{+}) &= \lim_{ s \to +\infty } s \bigg[ s^{n} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-1-p} f^{(p)}(0_{+}) \bigg] \end{aligned} }$$

证明：对$f^{(n+1)}(t)$ 作拉普拉斯变换，一方面，根据定义，

$$\begin{aligned} \mathscr{L} \big[ f^{(n+1)}(t) \big] &= \int_{0_{-}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt \\ &= \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt + \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt, \\ \end{aligned}$$

由于

$$\begin{aligned} \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt &= \Big[ f^{(n)}(t) \mathrm e^{-st} \Big] _{0_{-}}^{0_{+}} + s \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt \\ &= f^{(n)}(0_{+}) - f^{(n)}(0_{-}) \\ &+ s\Big[ f^{(n-1)}(t) \mathrm e^{-st} \Big] _{0_{-}}^{0_{+}} + s^{2} \int_{0_{-}}^{0_{+}} f^{(n-1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt \\ &= \cdots \\ &= \sum_{p=0}^{n} s^{n-p} \Big[ f^{(p)}(0_{+}) - f^{(p)}(0_{-}) \Big], \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} \mathscr{L} \big[ f^{(n+1)}(t) \big] &= \sum_{p=0}^{n} s^{n-p} \Big[ f^{(p)}(0_{+}) - f^{(p)}(0_{-}) \Big] + \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt. \end{aligned}$$

另一方面，根据拉普拉斯变换的时域微分性质，

$$\begin{aligned} \mathscr{L} \big[ f^{(n+1)}(t) \big] = s^{n+1} F(s) - \sum_{p=0}^{n} s^{n-p} f^{(p)}(0_{-}). \end{aligned}$$

对比上面两式，约去$f^{(p)}(0_{-})$ 项，有

$$s^{n+1} F(s) = \sum_{p=0}^{n} s^{n-p} f^{(p)}(0_{+}) + \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt.$$

即

$$\begin{aligned} f^{(n)}(0_{+}) &= s^{n+1} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-p} f^{(p)}(0_{+}) - \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt. \end{aligned} \tag{1}$$

为证明初值定理，在$(1)$ 式两端取极限$s \to +\infty$，并结合

$$\lim_{ s \to +\infty } \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \mathrm e^{-st} \mathrm dt = \int_{0_{+}}^{+\infty} f^{(n+1)}(t) \Big[ \lim_{ s \to +\infty } \mathrm e^{-st} \Big] \mathrm dt = 0,$$

就有

$$\begin{aligned} f^{(n)}(0_{+}) &= \lim_{ s \to +\infty } \bigg[ s^{n+1} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-p} f^{(p)}(0_{+}) \bigg] \\ &= \lim_{ s \to +\infty } s \bigg[ s^{n} F(s) - \sum_{p=0}^{n-1} s^{n-1-p} f^{(p)}(0_{+}) \bigg], \\ \end{aligned}$$

这就证明了初值定理。

终值定理 给出了由$F(s)$ 判断$f(+\infty)$ 是否存在的方法，即只有当$F(s)$ 在$s$ 的右半平面或$\mathrm i\omega$ 虚轴上不存在极点时（原点处$s=0$ 的一阶极点除外），$f(+\infty)$ 才存在，即为有限常数，

$$\boxed{ f(+\infty) = \lim_{ s \to 0 } sF(s) }$$

在$(1)$ 式两端取极限$s \to 0$，并取$n=0$，就证明了终值定理。

5.2 单边拉普拉斯反变换

求单边拉普拉斯反变换，可以由反变换的公式并利用复变函数中的留数定理。但这较困难，对数学的要求较高，下面介绍一种常用且简单的方法，裂项（部分分式展开）。

如果象函数$F(s)$ 是有理分式，设其一般形式为

$$F(s) =\dfrac{B_{m}(s)}{A_{n}(s)} =\dfrac{\sum_{k=0}^{m} b_{k}s^{k}} {\sum_{k=0}^{n} a_{k}s^{k}}$$

如果是假分式，即$m \geqslant n$，先作多项式除法分解为有理多项式和有理真分式。下设$m<n$。

设$A_{n}(s)=0$ 有$e_{i}$ 重根$s_{i}$，则$F(s)$ 可展开（裂项）为

$$\boxed{ F(s)= \sum_{i=0}^{\sum e_{i}=n} \sum_{j=0}^{e_{i}-1} \dfrac{k_{ij}}{(s-s_{i})^{j+1}} }$$

其中系数可以通过直接配凑，或将原式作变形再两边求导求得，其一般形式为

$$k_{ij} =\dfrac{1}{j!} \dfrac{\mathrm d^{j}}{\mathrm ds^{j}} (s-s_{i})^{e_{i}}F(s) \bigg|_{s=s_{i}}.$$

现在只需求$f(s)=\cfrac{1}{(s-s_{0})^{n+1}}$ 的拉普拉斯反变换。

回忆，$\mathscr{L}[\varepsilon(t)]=\cfrac{1}{s}$，对阶跃函数积分，

$$\varepsilon^{-1}(t) = \int_{-\infty}^{t}\varepsilon(\tau)\mathrm d\tau = t\varepsilon(t),$$

结合拉普拉斯变换的时域积分性质，有

$$\mathscr{L}\big[\varepsilon^{-1}(t)\big] = \frac{1}{s^{2}}.$$

继续积分并做拉普拉斯变换，

$$\mathscr{L}\big[\varepsilon^{-2}(t)\big] = \mathscr{L}\Big[\frac{1}{2}t^{2}\varepsilon(t)\Big] = \frac{1}{s^{3}},$$

即

$$\mathscr{L}\big[t^{2}\varepsilon(t)\big] = \frac{2}{s^{3}},$$

可以再写几项观察观察。利用数学归纳法不难证明

$$\mathscr{L}\big[t^{n}\varepsilon(t)\big] = \frac{n!}{s^{n+1}},$$

进一步地，

$$\boxed{ \begin{aligned} \mathscr{L} \big[\mathrm e^{s_{0}t} t^{n}\varepsilon(t)\big] &= \frac{n!}{(s-s_{0})^{n+1}} \\ \mathscr{L}^{-1} \bigg[\frac{1}{(s-s_{0})^{n+1}}\bigg] &= \frac{1}{n!}\mathrm e^{s_{0}t} t^{n}\varepsilon(t) \end{aligned} }$$

例 2 求$F(s)=\dfrac{s}{s^2+s+1}$ 的原函数。

解 方程$s^2+s+1$ 有一对共轭根$s_{0,1}=-\cfrac{1}{2}\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i$，设

$$\small \begin{aligned} F(s) &= \frac{k_{0}}{s-(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)}+\frac{k_{1}}{s-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)}, \end{aligned}$$

其中

$$\small \begin{aligned} k_{0} &= \Big[s-\Big(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i\Big)\Big] F(s)\Bigg|_{s=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i} \\ &= \frac{s}{s-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)} \Bigg|_{s=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i} \\ &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i , \\ k_{1} &= \frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i , \end{aligned}$$

作拉普拉斯反变换，得

$$\small \begin{aligned} f(t) &= \bigg[ \Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big) \mathrm e^{(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)t} + \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big) \mathrm e^{(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i)t} \bigg]\varepsilon(t) \\ &= \mathrm e^{\frac{1}{2}t} \bigg[ \Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big) \mathrm e^{\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm it} + \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathrm i\Big) \mathrm e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm it} \bigg]\varepsilon(t) \\ &= \mathrm e^{\frac{1}{2}t} \Big[\cos\frac{\sqrt{3}}{2} t -\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\Big] \varepsilon(t). \\ \end{aligned}$$

上面的运算过程十分繁琐，其实是因为忽略了共轭根「共轭」的性质。

事实上，$k_{0}=k_{1}^{*}$。我们考虑一般情形，如果共轭根为$s=\alpha\pm\beta\mathrm i$，那么$F(s)$ 可以表示为

$$F(s) = \dfrac{2\mathrm{Re}k_{0}\cdot(s-\alpha)}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}} - \dfrac{2\mathrm{Im}k_{0}\cdot\beta}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}}.$$

回忆三角函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换的频移性质，

$$\begin{aligned} \mathscr{L}[\cos\omega_{0}t] &= \dfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} \\ \mathscr{L}[\sin\omega_{0}t] &= \dfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} \\ \mathscr{L}[\mathrm e^{-\alpha t}\cos\omega_{0}t] &= \dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{0}^{2}} \\ \mathscr{L}[\mathrm e^{-\alpha t}\sin\omega_{0}t] &= \dfrac{\omega_{0}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{0}^{2}} \\ \end{aligned}$$

作拉普拉斯反变换，得

$$\begin{aligned} f(t) &= \mathrm e^{-\alpha t} \cdot \big[ 2\mathrm{Re}k_{0}\cos\beta t - 2\mathrm{Im}k_{0}\sin\beta t \big] \varepsilon(t) \\ &= \mathrm e^{-\alpha t} \cdot 2|k_{0}|\cos(\beta t+\arg k_{0}) \varepsilon(t). \\ \end{aligned}$$

这样能大大降低运算量。

对于例 2，共轭根$s=-\cfrac{1}{2}\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm i$，设

$$F(s) =\frac{A(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} -\frac{B\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$$

由$s=A\big(s+\cfrac{1}{2}\big)-B\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ 得$A=1,\ B=\cfrac{1}{\sqrt{ 3 }}$，作拉普拉斯反变换，得

$$f(t) = \mathrm e^{-\frac{1}{2} t} \Big[\cos\frac{\sqrt{3}}{2} t -\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\Big] \varepsilon(t).$$

多重共轭根并不常见，其形式也很复杂，感兴趣的读者可以自行推导。

如果$F(s)$ 不是有理分式，一般也可以将其拆成若干基本信号的象函数之和的形式。这里说一般是因为，类似于不定积分，许多函数的原函数不是初等函数。

例 3 求$F(s)=\cfrac{1-\mathrm e^{-2s}}{s^{2}+\pi^{2}}$ 的原函数。

解 分子上的$\mathrm e^{-t_{0}s}$ 可能是时变产生的，

$$F(s) = \dfrac{1}{\pi} \bigg[\dfrac{\pi}{s^{2}+\pi^{2}} -\dfrac{\pi\mathrm e^{-2s}}{s^{2}+\pi^{2}}\bigg],$$

作拉普拉斯反变换，得

$$\begin{aligned} f(t) &= \dfrac{1}{\pi}\sin \pi t\varepsilon(t) - \dfrac{1}{\pi}\sin \pi (t-2)\varepsilon(t-2) \\ &= \dfrac{1}{\pi}\sin \pi t \cdot g_{2}(t-1). \end{aligned}$$

例 4 求$F(s)=\cfrac{1}{s(1+\mathrm e^{-2s})}$ 的原函数。

解 回忆

$$\mathscr{L}^{-1} \Big[ \dfrac{1}{1-\mathrm e^{-sT}} \Big] = \sum_{n=0}^{\infty} \delta (t - nT),$$

作配凑使分母具有$1-\mathrm e^{-sT}$ 的形式，

$$\begin{aligned} F(s) &= \frac{1 - \mathrm e^{-2s}}{s(1 - \mathrm e^{-4s})} \\ &= \bigg[\frac{1}{s} - \frac{\mathrm e^{-2s}}{s}\bigg] \frac{1}{s(1 - \mathrm e^{-4s})}, \end{aligned}$$

作拉普拉斯反变换，得

$$f(t) = \big[\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2)\big] * \sum_{n=0}^{\infty} \delta (t - nT),$$

这是周期矩阵脉冲函数。

5.3 连续时间系统的复频域分析

5.3.1 系统微分方程的复频域求解

在微分方程

$$\sum_{i=0}^{n} a_{i}y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m} b_{j}f^{(j)}(t), \quad t \in[0_{-}, +\infty)$$

两边做拉普拉斯变换，

$$\sum_{i=0}^n a_i\bigg[s^i Y(s)-\sum_{p=0}^{i-1} s^{i-1-p} y^{(p)}(0_{-})\bigg]=\sum_{j=0}^m b_j s^j E(s),$$

稍作整理，得到系统微分方程在复频域上的表示即

$$Y(s)\sum_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum_{i=0}^n a_i\sum_{p=0}^{i-1}s^{i-1-p} y^{(p)}(0_{-})=E(s)\sum_{j=0}^{m}b_{j}s^{j},$$

简记为

$$Y(s) A(s) - M(s) = E(s) B(s),$$

其中

$$\begin{cases} A(s) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} a_{i} s^{i}, \\ M(s) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} a_{i} \sum_{p=0}^{i-1} s^{i-1-p} y^{(p)}(0_{-}), \\ B(s) = \displaystyle\sum_{j=0}^{m} b_{j} s^{j}. \end{cases}$$

值得注意的是，$A(s)$ 表示响应端对应的特征方程，$B(s)$ 表示激励端对应的特征方程，$M(s)$ 表示初始状态，这三者都是关于$s$ 的多项式，而$E(s)$ 表示激励的拉普拉斯变换，其形式并不确定。

回忆，全响应有三种分解方法，分别是零输入响应 + 零状态响应，自由响应 + 强迫响应、以及暂态响应 + 稳态响应．第二章中已经介绍了在时域上直接求解的方法。

在复频域上，系统 全响应、零输入响应 和 零状态响应 的描述分别为

$$\begin{cases} Y(s) = \cfrac{M(s) + E(s) B(s)}{A(s)} \\ Y_{\mathrm{zi}}(s) = \cfrac{M(s)}{A(s)} \\ Y_{\mathrm{zs}}(s) = \cfrac{B(s)}{A(s)} E(s) \end{cases}$$

再做拉普拉斯反变换，即求原函数，就能得到时域上系统全响应、零输入响应和零状态响应。

时域解的形式由$Y(s)$ 的极点决定，这包括$A(s)$ 的极点和$E(s)$ 的极点。其中$A(s)$ 的极点决定系统的 自由响应，$E(s)$ 的极点决定系统的 强迫响应。

至于 暂态响应 或 稳态响应，需要依据具体形式判断。

5.3.2 系统函数

系统函数$H(s) = \cfrac{B(s)}{A(s)}$，只与系统的结构、参数有关，而与激励、初始状态均无关，反映系统的固有特性。

一方面，$Y_{\mathrm{zs}}(s)=H(s)E(s)$ 在时域上的描述为$y_{\mathrm{zs}}(t)=h(t)*e(t)$，因此$H(s)$ 是时域上单位冲激响应$h(t)$ 的拉普拉斯变换；

另一方面，$A(s)$ 是系统微分方程的响应端对应的特征方程，$B(s)$ 是激励端对应的特征方程，因此系统微分方程与$H(s)$ 可以相互推知。

5.3.3 系统的复频域框图

回忆，系统模型可用数学表达式或框图法描述，连续系统中，$\int$ 是积分器，$x^{(j)}\overset{\int}{\to}x^{(j-1)}$，

$$\begin{cases} y(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}x^{(j)}(t) \\ f(t)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}x^{(i)}(t) \end{cases} \Longrightarrow \sum_{i=0}^{\infty} b_{i}y^{(i)}(t) =\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}f^{(j)}(t).$$

在复频域中，积分器表示为$1/s$，$s^{j}X(s)\overset{1/s}{\to}s^{j-1}X(s)$，（事实上时域积分，复频域上还需加上$f^{(n)}(0_{-})$ 项，但考虑到微分方程与初始状态无关，因此常用零状态的复频域模型）

$$\begin{cases} Y(s) = \sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}s^{j}X(s) \\ E(s) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}s^{i}X(s) \end{cases} \Longrightarrow H(s) = \dfrac{Y(s)}{E(s)} = \dfrac{\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}s^{j}} {\sum_{i=0}^{\infty} b_{i}s^{i}}.$$

系统函数和系统特性

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2024-10-16：［和師姐一起學數學］信号与系统 第二章 连续时间系统的时域分析
2024-10-21：［和師姐一起學數學］信号与系统 第三章 离散时间系统的时域分析
2024-10-22：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（上）
2024-11-17：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（下）
2024-11-18：［和師姐一起學數學］信号与系统 第五章 连续时间信号与系统的复频域分析（本篇）