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第五章 连续时间信号与系统的复频域分析

5.1 连续时间信号的复频域分析——拉普拉斯变换

5.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换

回忆，f(t)f(t) 的傅里叶变换存在的充分条件是f(t)f(t) 绝对可积，如果f(t)f(t) 不满足绝对可积，可以先乘上一个 衰减因子e−σt\mathrm e^{-\sigma t}，满足f(t)e−σtf(t)\mathrm e^{-\sigma t} 绝对可积后再做傅里叶变换，

F[f(t)e−σt]=∫−∞+∞f(t)e−(σ+iω)tdt,\mathscr{F}[f(t)\mathrm e^{-\sigma t}] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\mathrm e^{-(\sigma+\mathrm i\omega )t} \mathrm dt,

这是关于σ\sigma 和iω\mathrm i\omega 的函数，若记复数s=σ+iωs=\sigma+\mathrm i\omega，

F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdt,F(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\mathrm e^{-st} \mathrm dt,

这就是 拉普拉斯变换，F(s)F(s) 是个复变函数，也称为f(t)f(t) 的 象函数。

由傅里叶反变换

f(t)e−σt=12π∫−∞+∞F(σ+iω)eiωtdωf(t)\mathrm e^{-\sigma t} =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\sigma+\mathrm i\omega )\mathrm e^{\mathrm i\omega t } \mathrm d\omega

结合ds=idω\mathrm ds=\mathrm i\mathrm d\omega，得到dω=−ids\mathrm d\omega=-\mathrm i\mathrm ds 及s∈(σ−i∞,σ+i∞)s\in(\sigma-\mathrm i\infty,\sigma+\mathrm i\infty)，进而

f(t)=12πi∫σ−i∞σ+i∞F(s)estdsf(t) =\frac{1}{2\pi \mathrm i } \int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty} F(s)\mathrm e^{st} \mathrm ds

这就是 拉普拉斯反变换，时间函数f(t)f(t) 称为F(s)F(s) 的 原函数。

拉普拉斯变换建立了时域与复频域间的关系，但它仅仅是工具，无明确的物理意义。拉普拉斯变换可理解为广义的傅里叶变换，傅里叶变换可理解为虚轴上的拉普拉斯变换。

5.1.2 拉普拉斯变换的收敛域

f(t)f(t) 的拉普拉斯变换存在的充分条件是f(t)e−σtf(t)\mathrm e^{-\sigma t} 绝对可积。

定义 收敛域 为使f(t)f(t) 的F(s)F(s) 存在的Re[s]=σ\mathrm{Re}[s]=\sigma 的取值范围。求信号的双边拉普拉斯变换时，要同时给出收敛域，即任意信号和它的双边拉普拉斯变换连同收敛域才是一一对应的。

因果信号f(t)=eαtε(t), α∈Rf(t)=\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t),\ \alpha\in\mathbb R 的拉普拉斯变换

F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdt=∫0+∞eαte−stdt=1−(s−α)e−(s−α)t∣0+∞=1−(s−α)[1−lim⁡t→∞e−(σ−α)te−iωt],\begin{aligned} F(s) &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt \\ &= \int_{0}^{+\infty}\mathrm e^{\alpha t}\mathrm e^{-st}\mathrm dt \\ &= \frac{1}{-(s-\alpha)}\mathrm e^{-(s-\alpha)t} \bigg|_{0}^{+\infty} \\ &= \frac{1}{-(s-\alpha)}\Big[1-\lim_{t\to\infty}\mathrm e^{-(\sigma-\alpha)t}\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}\Big], \\ \end{aligned}

若σ>α\sigma>\alpha，上式等于1s−α\dfrac{1}{s-\alpha}；若σ=α\sigma=\alpha，不定；若σ<α\sigma<\alpha，发散。

又如反因果信号f(t)=−e−αtε(−t), α∈Rf(t)=-\mathrm e^{-\alpha t}\varepsilon(-t),\ \alpha\in\mathbb R 的拉普拉斯变换，若σ<α\sigma<\alpha，结果是1s−α\dfrac{1}{s-\alpha}；若σ=α\sigma=\alpha，不定；若σ<α\sigma<\alpha，发散。

再如双边信号f(t)=eαtε(t)+eβtε(−t), α∈Rf(t)=\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t)+\mathrm e^{\beta t}\varepsilon(-t),\ \alpha\in\mathbb R 的拉普拉斯变换仅在α<σ<β\alpha<\sigma<\beta 时存在。

双边拉普拉斯变换收敛条件比较苛刻，限制了其应用。因此引入单边拉普拉斯变换，后文中如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。

5.1.3 单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯正变换

L[f(t)]=F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdt\boxed{ \mathscr{L}[f(t)] = F(s) = \displaystyle \int_{0_{-}}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st} \mathrm dt }

单边拉普拉斯反变换

L−1[F(s)]=f(t)={0t<012πi∫σ−i∞σ+i∞F(s)estdst⩾0\mathscr{L}^{-1}[F(s)] = f(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ \displaystyle \frac{1}{2\pi \mathrm i } \int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty} F(s)\mathrm e^{st} \mathrm ds & t \geqslant 0 \end{cases}

f(t)f(t) 的单边拉普拉斯变换的结果和f(t)ε(t)f(t)\varepsilon(t) 的双边拉普拉斯变换的结果是一样的，可以推知，单边拉普拉斯变换的收敛域在收敛轴的右侧，即σ>∗\sigma>* 的形式。

5.1.4 常用信号的拉普拉斯变换

L[f(t)]F(s)Re[s]>L[ε(t)]1s−∞L[δ(t)]1−∞L[δ′(t)]s0L[gτ(t−τ2)]1−e−sτs−∞L[e−s0tε(t)]1s−s0Re[s0]L[cos⁡ω0tε(t)]ss2+ω020L[sin⁡ω0tε(t)]ω0s2+ω020\begin{array}{lll} \mathscr{L}[f(t)] & F(s) & \mathrm{Re}[s] > \\\hline \mathscr{L}[\varepsilon(t)] & \cfrac{1}{s} & -\infty \\ \mathscr{L}[\delta(t)] & 1 & -\infty \\ \mathscr{L}[\delta'(t)] & s & 0 \\ \mathscr{L}\big[g_{\tau}\big(t-\cfrac{\tau}{2}\big)\big] & \cfrac{1-\mathrm e^{-s\tau}}{s} & -\infty \\ \mathscr{L}[\mathrm e^{-s_{0}t}\varepsilon(t)] & \cfrac{1}{s-s_{0}} & \mathrm{Re}[s_{0}] \\ \mathscr{L}[\cos\omega_{0}t\varepsilon(t)] & \cfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} & 0 \\ \mathscr{L}[\sin\omega_{0}t\varepsilon(t)] & \cfrac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} & 0 \\ \end{array}

5.2 拉普拉斯变换的性质

下设L[f(t)ε(t)]=F(s), Re[s]>σ\mathscr{L}[f(t)\varepsilon(t)]=F(s),\ \mathrm{Re}[s]>\sigma。

线性性

L[α1f1(t)+α2f2(t)]=α1L[f1(t)]+α2L[f2(t)],Re[s]>max⁡{σ1,σ2}\boxed{ \begin{aligned} \mathscr{L}[\alpha_{1}f_{1}(t)+\alpha_{2}f_{2}(t)] =\alpha_{1}\mathscr{L}[f_{1}(t)]+\alpha_{2}\mathscr{L}[f_{2}(t)], \quad\\ \mathrm{Re}[s]>\max\lbrace \sigma_{1},\sigma_{2} \rbrace \end{aligned} }

坐标变换（时移、频移、尺变）

L[f(t−t0)ε(t−t0)]=F(s)⋅e−st0,Re[s]>σL[f(αt)]=1αF(sα),Re[s]>ασL[f(t)⋅es0t]=F(s−s0),Re[s]>σ+Re[s0]\boxed{ \begin{array}{ll} \mathscr{L}[f(t-t_{0})\varepsilon(t-t_{0})] =F(s)\cdot\mathrm e^{-st_{0}}, &\mathrm{Re}[s]>\sigma \\ \mathscr{L}[f(\alpha t)]= \dfrac{1}{\alpha}F\Big(\dfrac{s}{\alpha}\Big), &\mathrm{Re}[s]>\alpha\sigma \\ \mathscr{L}[f(t)\cdot\mathrm e^{s_{0}t}] =F(s-s_{0}), &\mathrm{Re}[s]>\sigma+\mathrm{Re}[s_{0}] \\ \end{array}}

时域卷积性质

L[f1(t)∗f2(t)]=F1(s)⋅F2(s),Re[s]>max⁡{σ1,σ2}\boxed{ \mathscr{L}[f_{1}(t)*f_{2}(t)] =F_{1}(s)\cdot F_{2}(s), \quad\\ \mathrm{Re}[s]>\max\lbrace \sigma_{1},\sigma_{2} \rbrace }

频域卷积性质

L[f1(t)⋅f2(t)]=12πiF1(s)∗F2(s)\mathscr{L}[f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)] =\dfrac{1}{2\pi \mathrm i}F_{1}(s)* F_{2}(s)

在复频域作卷积是困难的，这个性质很少用到。

利用卷积的微积分性质不难推得 时域微积分性质

L[f′(t)]=sF(s)−f(0−)L[f′′(t)]=s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)L[∫−∞tf(t)dt]=1s[F(s)+f(−1)(0−)]\boxed{ \begin{aligned} &\mathscr{L}\big[f'(t)\big] =sF(s)-f(0_{-}) \\ &\mathscr{L}\big[f''(t)\big] =s^{2}F(s)-sf(0_{-})-f'(0_{-}) \\ &\mathscr{L}\Big[ \int_{-\infty}^{t}f(t)\mathrm dt \Big] =\dfrac{1}{s}\big[F(s)+f^{(-1)}(0_{-})\big]\\ \end{aligned} }

对于因果信号，f(0−)=0f(0_{-})=0，

L[f′(t)]=sF(s)L[f′′(t)]=s2F(s)L[∫0−tf(t)dt]=1sF(s)\begin{aligned} &\mathscr{L}\big[f'(t)\big] =sF(s) \\ &\mathscr{L}\big[f''(t)\big] =s^{2}F(s) \\ &\mathscr{L}\Big[ \int_{0_{-}}^{t}f(t)\mathrm dt \Big] =\dfrac{1}{s}F(s)\\ \end{aligned}

也就是

L[f(n)(t)]=snF(s)\boxed{\mathscr{L}\big[f^{(n)}(t)\big] =s^{n}F(s)}

复频域微积分性质

L[(−t)nf(t)]=dndsnF(s)L[1tf(t)]=∫s+∞F(s)ds\begin{aligned} &\mathscr{L}\big[(-t)^{n}f(t)\big] =\dfrac{\mathrm d^{n}}{\mathrm ds^{n}}F(s) \\ &\mathscr{L}\Big[\dfrac{1}{t}f(\mathrm t)\Big] =\int_{s}^{+\infty}F(s)\mathrm ds \\ \end{aligned}

初值定理

4.3 单边拉普拉斯反变换

  1. 由反变换的公式，利用复变函数中的留数定理求解；
  2. 查表法；
  3. 部分分式展开法。

4.3.2 部分分式展开法

设象函数F(s)F(s) 的一般形式为

F(s)=Bm(s)An(s)=∑k=0mbksk∑k=0nakskF(s) =\dfrac{B_{m}(s)}{A_{n}(s)} =\dfrac{\sum_{k=0}^{m} b_{k}s^{k}} {\sum_{k=0}^{n} a_{k}s^{k}}

如果是假分式，即m⩾nm \geqslant n，先作多项式除法分解为有理多项式和有理真分式。下设m<nm<n。

设An(s)=0A_{n}(s)=0 有eie_{i} 重根sis_{i}，则F(s)F(s) 可展开为

F(s)=∑i=1∑ei=n∑j=1eikij(s−si)jF(s)=\sum_{i=1}^{\sum e_{i}=n} \sum_{j=1}^{e_{i}} \dfrac{k_{ij}}{(s-s_{i})^{j}}

其中系数

kij=k_{ij}=



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2024-09-13：［和師姐一起學數學］信号与系统 第一章 信号与系统的基本概念
2024-10-16：［和師姐一起學數學］信号与系统 第二章 连续时间系统的时域分析
2024-10-21：［和師姐一起學數學］信号与系统 第三章 离散时间系统的时域分析
2024-10-22：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（上）
2024-11-17：［和師姐一起學數學］信号与系统 第四章 连续时间信号与系统的频域分析（下）
2024-11-18：［和師姐一起學數學］信号与系统 第五章 连续时间信号与系统的复频域分析（本篇）