本笔记基于吴大正等著《信号与线性系统分析第 5 版》。

第一章信号与系统的基本概念

本章概念较多，有些枯燥……

1.1 绪论

信号是个 数学函数，表现为一种波形，系统的基本作用是对信号进行传输和处理，是 数学函数的函数．所以这门课的本质是数学．

若令周期信号的周期趋于无穷大，则成为非周期信号

\begin{array}{} & \text{信号能量 }E & \text{信号功率 }P \\\hline \text{连续信号} & \displaystyle\lim_{ \alpha \to \infty } \int_{-\alpha}^{\alpha} \big|f(t)\big|^{2} \mathrm dt & \displaystyle\lim_{ \alpha \to \infty } \frac{1}{2\alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} \big|f(t)\big|^{2} \mathrm dt \\ \text{离散信号} & \displaystyle\lim_{ N \to \infty } \sum_{k=-N}^{N} \big|f(k)\big|^{2} & \displaystyle\lim_{ N \to \infty } \dfrac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} \big|f(k)\big|^{2} \end{array}

指数信号 $f(t)=K\mathrm e^{\alpha t}$ ，其中指数因子 $\alpha$ ，时间常数 $\tau=\cfrac{1}{|\alpha|}$
正弦信号 $f(t)=A\cos(\omega t-\theta)$
复指数信号 $f(t)=K\mathrm e^{(\alpha+\mathrm i\omega) t}$
抽样信号 $f(t)=\operatorname{Sa}t=\cfrac{\sin t}{t}$ ，这是个偶函数，一个重要性质是 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{Sa}t\mathrm dt=\pi$

奇异函数本身或其导数或其积分有不连续点，下面列举常用的奇异信号：

单位斜坡/变信号 $r(t)=t,\ t \geqslant 0$
单位阶跃信号 $\varepsilon(t)=1,\ t>0$ 是单位斜坡的导函数， $t=0$ 处不定义
单位冲激信号 $\delta(t)$ 是单位阶跃信号的导函数，表示冲击强度，用 $\uparrow(1)$ 表示，满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)=1$ 且 $\delta(t)=0,\ t \neq 0$
单位冲激偶信号 $\delta'(t)$ 是单位冲激信号的导函数，满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(t)=0$

\begin{array}{ccc} & \text{冲激信号} \delta(t) & \text{冲激偶信号} \delta(t) \\\hline \text{与普通函数相乘} & f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t) & f(t)\delta'(t) = f(0)\delta'(t) -f'(0)\delta(t) \\ \text{抽样性} & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t) \mathrm dt = f(0) & \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta'(t) \mathrm dt = -f'(0)\\ \text{奇偶性} & \delta(-t)=\delta(t) & \delta'(-t)=-\delta'(t) \\ \text{尺度变换} & \delta(at) = \dfrac{1}{|a|}\delta(t) & \delta'(at) = \dfrac{1}{a|a|}\delta'(t) \end{array}

冲激信号与普通函数相乘的结果是由定义得到的．对

f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)

两边求导，得

f'(t)\delta(t) + f(t)\delta'(t) = f(0)\delta'(t),

结合 $f'(t)\delta(t) = f'(0)\delta(t)$ ，于是

f(t)\delta'(t) = f(0)\delta'(t) - f'(0)\delta(t).

这就证明了冲激偶信号与普通函数相乘的结果．

这里特别强调，如果出现冲激（偶）信号与普通函数相乘，必须化简．

例计算 $\displaystyle \int_{-4}^{4}(t^{2}+\mathrm e^{-2t})[\delta(2t-6)-\delta'(t+2)]\mathrm dt$ ．

解由抽样性，原式

\begin{aligned} &=\int_{-4}^{4} (t^{2}+\mathrm e^{-2t}) [0.5\delta(t-3)-\delta'(t+2)] \mathrm dt \\ &=0.5\big[t^{2}+\mathrm e^{-2t}\big]_{t=3} -\Big[-\big(t^{2}+\mathrm e^{-2t}\big)'\Big]_{t=-2} \\ &=0.5+0.5\mathrm e^{-6}-2\mathrm e^{4} . \end{aligned}

单位阶跃序列 $\varepsilon(k)=1,\ k \geqslant 0$ ，注意在 $t=0$ 处有定义，是单位序列的前缀和，即 $\varepsilon(k) = \sum \limits_{i=-\infty}^{k}\delta(i)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\delta(k-n)$
单位序列 $\delta(k)=1,\ k=0$ ，类似于单位冲激信号，是单位阶跃序列的差分，即 $\delta(k) = \varepsilon(k) - \varepsilon(k-1)$
单边指数序列 $f(k)=a^{k}\varepsilon(k)$
正弦序列 $f(k)=\sin\omega_{0}k$ ，如果周期 $T=\cfrac{2\pi}{\omega_{0}}$ 是有理数，设 $T=\cfrac{q}{p}$ ，其中 $p\perp q$ ，则最小正周期为 $T_{0}=q$ ，否则如果周期是无理数，正弦序列没有周期
复指数序列 $f(k)=K\mathrm e^{(\alpha+\mathrm i\omega) k}=Ka^{k}\mathrm e^{\mathrm i\omega k}$

信号的基本运算包括线性运算，平移、反转、尺度变换，微积分，差分、求和．

这里着重强调差分， $\Delta, \nabla$ 是差分算子，前者为前向差分，后者为后向差分，即

\begin{aligned} \Delta f(k) &= f(k+1)-f(k) \\ \nabla f(k) &= f(k)-f(k-1) \\ \end{aligned}

这两者的关系是 $\nabla f(k) = \Delta f(k-1)$ ．

系统模型可用数学表达式或框图法描述：

\begin{cases} y(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}x^{(j)}(t) \\ f(t)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}x^{(i)}(t) \end{cases} \Longrightarrow \sum_{i=0}^{\infty} b_{i}y^{(i)}(t) =\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}f^{(j)}(t)

\begin{cases} y(k)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}x(k-j) \\ f(k)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}x(k-i) \end{cases} \Longrightarrow \sum_{i=0}^{\infty} b_{i}y(k-i) =\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}f(k-j)

讨论线性时不变系统 (Linear Time - Invariant Systems)

线性性 线性动态系统满足 分解特性，即响应是输入信号 $\lbrace f(t) \rbrace$ 和初始状态 $\lbrace x(0) \rbrace$ 单独作用所引起的响应之和，且分别满足 零输入线性、零状态线性，线性需同时满足 均匀/齐次性 和 叠加/可加性，例如 $f(t)+1,\ f^{2}(t), \ x(0)f(t)$ 是非线性的
时不变性 响应 $y$ 形式与激励 $f$ 接入系统的时间无关，例如 $f(2t),\ f(\mathrm e^{t}),\ f(-t),\ tf(t)$ 是时变的
因果性 响应 $y$ 后于激励 $f$ ，例如 $f(t+1),\ f(-t)$ 是非因果的
稳定性 有界的输入 $f$ 产生有界的零状态响应 $y$