本笔记基于吴大正等著《信号与线性系统分析第 5 版》。

第一章信号与系统的基本概念

本章概念较多，有些枯燥……

1.1 绪论

信号是个 数学函数 ，表现为一种波形，系统的基本作用是对信号进行传输和处理，是 数学函数的函数 ．所以这门课的本质是数学．

1.2 信号的分类

1.2.1 确定性信号和随机信号

1.2.2 连续信号和离散信号

连续信号 定义域（时间）连续
模拟信号 时间和函数值均连续

1.2.3 周期信号和非周期信号

若令周期信号的周期趋于无穷大，则成为非周期信号

1.2.4 能量信号和功率信号

$$
\begin{array}{}
& \text{信号能量}E & \text{信号功率}P \\hline
\text{连续信号}
& \displaystyle\lim_{\alpha \to \infty} \int_{-\alpha}^{\alpha} \big|f(t)\big|^{2} \mathrm dt
& \displaystyle\lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{2\alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} \big|f(t)\big|^{2} \mathrm dt \
\text{离散信号}
& \displaystyle\lim_{N \to \infty} \sum_{k=-N}^{N} \big|f(k)\big|^{2}
& \displaystyle\lim_{N \to \infty} \dfrac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} \big|f(k)\big|^{2}
\end{array}
$$

能量信号 能量有限的信号
功率信号 功率有限的信号，周期信号一般是功率信号

1.3 基本信号及其时域特性

1.3.1 普通连续信号

指数信号 $f(t)=K\mathrm e^{\alpha t}$，其中指数因子 $\alpha$，时间常数 $\tau=\cfrac{1}{|\alpha|}$
正弦信号 $f(t)=A\cos(\omega t-\theta)$
复指数信号 $f(t)=K\mathrm e^{(\alpha+\mathrm i\omega) t}$
抽样信号 $f(t)=\operatorname{Sa}t=\cfrac{\sin t}{t}$，这是个偶函数，一个重要性质是狄利克雷积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{Sa}t\mathrm dt=\pi$

1.3.2 奇异信号

奇异函数本身或其导数或其积分有不连续点，下面列举常用的奇异信号：

单位斜坡 / 变信号 $r(t)=t,\ t \geqslant 0$
单位阶跃信号 $\varepsilon(t)=1,\ t>0$ 是单位斜坡的导函数，$t=0$ 处不定义
单位冲激信号 $\delta(t)$ 是单位阶跃信号的导函数，表示冲击强度，用 $\uparrow(1)$ 表示，满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)=1$ 且 $\delta(t)=0,\ t \neq 0$
单位冲激偶信号 $\delta’(t)$ 是单位冲激信号的导函数，满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\delta’(t)=0$

$$
\begin{array}{ccc}
& \text{冲激信号} \delta(t)
& \text{冲激偶信号} \delta(t) \\hline
\text{与普通函数相乘}
& f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)
& f(t)\delta’(t) = f(0)\delta’(t) -f’(0)\delta(t) \
\text{抽样性}
& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta(t) \mathrm dt = f(0)
& \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\delta’(t) \mathrm dt = -f’(0)\
\text{奇偶性}
& \delta(-t)=\delta(t)
& \delta’(-t)=-\delta’(t) \
\text{尺度变换}
& \delta(at) = \dfrac{1}{|a|}\delta(t)
& \delta’(at) = \dfrac{1}{a|a|}\delta’(t)
\end{array}
$$

冲激信号与普通函数相乘的结果是由定义得到的．对

$$
f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)
$$

两边求导，得

$$
f’(t)\delta(t) + f(t)\delta’(t) = f(0)\delta’(t),
$$

结合 $f’(t)\delta(t) = f’(0)\delta(t)$，于是

$$
f(t)\delta’(t) = f(0)\delta’(t) - f’(0)\delta(t).
$$

这就证明了冲激偶信号与普通函数相乘的结果．

这里特别强调，如果出现冲激（偶）信号与普通函数相乘，必须化简．

例计算 $\displaystyle \int_{-4}^{4}(t^{2}+\mathrm e^{-2t})[\delta(2t-6)-\delta’(t+2)]\mathrm dt$．

解由抽样性，原式

$$
\begin{aligned}
&=\int_{-4}^{4}
(t^{2}+\mathrm e^{-2t})
[0.5\delta(t-3)-\delta’(t+2)]
\mathrm dt \
&=0.5\big[t^{2}+\mathrm e^{-2t}\big]{t=3}
-\Big[-\big(t^{2}+\mathrm e^{-2t}\big)'\Big]{t=-2} \
&=0.5+0.5\mathrm e^{-6}-2\mathrm e^{4} .
\end{aligned}
$$

1.3.3 基本离散信号

单位阶跃序列 $\varepsilon(k)=1,\ k \geqslant 0$，注意在 $t=0$ 处有定义，是单位序列的前缀和，即 $\varepsilon(k) = \sum \limits_{i=-\infty}^{k}\delta(i)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\delta(k-n)$
单位序列 $\delta(k)=1,\ k=0$，类似于单位冲激信号，是单位阶跃序列的差分，即 $\delta(k) = \varepsilon(k) - \varepsilon(k-1)$
单边指数序列 $f(k)=a^{k}\varepsilon(k)$
正弦序列 $f(k)=\sin\omega_{0}k$，如果周期 $T=\cfrac{2\pi}{\omega_{0}}$ 是有理数，设 $T=\cfrac{q}{p}$，其中 $p\perp q$，则最小正周期为 $T_{0}=q$，否则如果周期是无理数，正弦序列没有周期
复指数序列 $f(k)=K\mathrm e^{(\alpha+\mathrm i\omega) k}=Ka^{k}\mathrm e^{\mathrm i\omega k}$

1.4 信号的基本运算

信号的基本运算包括线性运算，平移、反转、尺度变换，微积分，差分、求和．

这里着重强调差分，$\Delta, \nabla$ 是差分算子，前者为前向差分，后者为后向差分，即

$$
\begin{aligned}
\Delta f(k) &= f(k+1)-f(k) \
\nabla f(k) &= f(k)-f(k-1) \
\end{aligned}
$$

这两者的关系是 $\nabla f(k) = \Delta f(k-1)$．

1.5 系统的描述及分类

1.5.1 系统的描述方法

系统模型可用数学表达式或框图法描述，

连续系统中，$\int$ 是积分器，$x^{(j)}(t)\overset{\int}{\to}x^{(j-1)}(t)$，

$$
\begin{cases}
y(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}x^{(j)}(t) \
f(t)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}x^{(i)}(t)
\end{cases}
\Longrightarrow
\sum_{i=0}^{\infty} b_{i}y^{(i)}(t)
=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}f^{(j)}(t).
$$

离散系统中，$D$ 是位移器，$x(k)\overset{D}{\to}x(k-1)$，

$$
\begin{cases}
y(k)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_{j}x(k-j) \
f(k)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} b_{i}x(k-i)
\end{cases}
\Longrightarrow
\sum_{i=0}^{\infty} b_{i}y(k-i)
=\sum_{j=0}^{\infty} a_{j}f(k-j).
$$

1.5.2 系统的分类

讨论线性时不变系统 (Linear Time - Invariant Systems)

1.6 线性时不变系统的性质

线性性 线性动态系统满足 分解特性 ，即响应是输入信号 $\lbrace f(t) \rbrace$ 和初始状态 $\lbrace x(0) \rbrace$ 单独作用所引起的响应之和，且分别满足 零输入线性 、 零状态线性 ，线性需同时满足 均匀 / 齐次性 和 叠加 / 可加性，例如 $f(t)+1,\ f^{2}(t), \ x(0)f(t)$ 是非线性的
时不变性 响应 $y$ 形式与激励 $f$ 接入系统的时间无关，例如 $f(2t),\ f(\mathrm e^{t}),\ f(-t),\ tf(t)$ 是时变的
因果性 响应 $y$ 后于激励 $f$，例如 $f(t+1),\ f(-t)$ 是非因果的
稳定性 有界的输入 $f$ 产生有界的零状态响应 $y$

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2024-09-13：［和師姐一起學數學］信号与系统第一章信号与系统的基本概念（本篇）
2024-10-16：［和師姐一起學數學］信号与系统第二章连续时间系统的时域分析
2024-10-21：［和師姐一起學數學］信号与系统第三章离散时间系统的时域分析
2024-10-22：［和師姐一起學數學］信号与系统第四章连续时间信号与系统的频域分析（上）
2024-11-17：［和師姐一起學數學］信号与系统第四章连续时间信号与系统的频域分析（下）
2024-11-18：［和師姐一起學數學］信号与系统第五章连续时间信号与系统的复频域分析