第三章离散时间系统的时域分析

3.1 系统差分方程的经典解

单输入—单输出的 LTI 离散系统的数学模型一般形式为常系数线性差分方程

\sum_{i=0}^{n} a_{n-i}y(k-i)=\sum_{j=0}^{m} b_{m-j}f(k-j),\quad n \geqslant m .

差分方程就是递推数列，这进一步支撑 《信号与系统》是门数学课 这一观点．

我们曾在高中学习过递推数列的解，这里稍作复习：

设齐次方程
$\sum_{i=0}^{n} a_{n-i}y(k-i)=0$
对应的特征方程
$\sum_{i=0}^{n} a_{i}\lambda^{i}=0$
有 $e_{i}$ 重根 $\lambda_{i}$ ，则齐次解
$y_{\mathrm h}(t)=\sum\lambda_{i}^t \sum_{j=0}^{e_{i}-1} C_{ij}t^{j},$
对于共轭根 $\lambda_{i}\mathrm e^{\pm \mathrm i\Omega}$ ，只需乘上系数 $A_{i}\cos(\Omega_{i}k-\theta_{i})$ 或 $(A_{i}\cos\Omega_{i}k+B_{i}\cos\Omega_{i}k)$ ，式中 $C_{ij},A_{i},B_{i},\theta_{i}$ 为常数，结合初始条件解出常数，就能得到伟解．
而莉解的形式由非齐次项 $e(k)=\sum \limits_{j=0}^{m} b_{m-j}f(k-j)$ 确定．

这与微分方程十分相似，只是解的基本形式不同：

	微分方程	差分方程
共轭根	$\lambda_{i}\pm \mathrm i\beta_{i}$	$\lambda_{i}\mathrm e^{\pm \mathrm i\Omega}$
解的基本形式	$\mathrm e^{\lambda_{i}t}A_{i}\cos(\beta_{i}t-\theta_{i})$	$\lambda_{i}^tA_{i}\cos(\Omega_{i}k-\theta_{i})$

离散系统的时域分析与连续系统时域分析有很强的对应关系，在后续学习中将逐步深入理解．

3.2 零输入响应和零状态响应

概念与求解方法与连续系统相同，这里不再赘述．

略有不同的是，离散系统中的初始状态 $y(0_{-})$ 特别地指 $y(-1),y(-2),\dots ,y(-k)$ ，初始条件 $y(0_{+})$ 特别地指 $y(0),y(1),\dots ,y(k-1)$ ，而初始条件是由递推公式推得的，不再需要 $\delta$ 函数平衡法．

3.3 单位序列响应和单位阶跃响应

这里只讲这两者的关系．由于

\begin{aligned} \delta(t)&=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1), \\ \varepsilon(k) &= \sum \limits_{i=-\infty}^{k}\delta(i)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\delta(k-n), \end{aligned}

结合线性性质和时（移）不变性得

\begin{aligned} h(t)&=g(k)-g(k-1),\\ g(k)&= \sum \limits_{i=-\infty}^{k}h(i)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}h(k-n). \end{aligned}

3.4 卷积和

定义相应地修改为

f_{1}(k)*f_{2}(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f_{1}(n)f_{2}(k-n),

例设序列 $f_{1}(k)=f_{2}(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-3)$ ，即 $\lbrace 1_{(k=0)},1,1 \rbrace$ ，则 $f_{1}(k)*f_{2}(k)=\lbrace 1_{(k=0)},2,3,2,1 \rbrace$ ．