第四章连续时间信号与系统的频域分析

4.3 周期信号的傅里叶变换

回忆，周期信号对应于傅里叶级数（离散谱），非周期信号对应于傅里叶变换（连续谱）。我们把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到更广泛的应用。

对周期信号 $f_{T}(t)$ 做傅里叶级数展开，即

f_{T}(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n}\mathrm e^{\mathrm in\Omega t},

式中 $\Omega=\cfrac{2\pi}{T}$ 表示周期信号 $f_{T}(t)$ 的角频率．再做傅里叶变换，得到

\begin{aligned} \mathscr{F}[f_{T}(t)] &=\mathscr{F}\bigg[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm e^{\mathrm in\Omega t} \bigg] \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathscr{F}\big[ \mathrm e^{\mathrm in\Omega t} \big] \\ &=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta(\omega-n\Omega). \\ \end{aligned}

例如 周期冲激信号的傅里叶变换

\begin{aligned} \mathscr{F}[\delta_{T}(t)] &= 2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \delta(\omega-n\Omega) \\ &= \Omega\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n\Omega) \\ &\overset{\Delta}{=} \Omega\delta_{\Omega}(\omega). \end{aligned}

将周期信号表示为

\boxed{ f_{T}(t)=f_{0}(t)*\delta_{T}(t) }

并结合时域卷积性质，周期信号的傅里叶变换

\begin{aligned} \mathscr{F}[f_{T}(t)] &= \mathscr{F} [f_{0}(t)*\delta_{T}(t)] \\ &= \mathscr{F} [f_{0}(t)] \cdot\mathscr{F} [\delta_{T}(t)] \\ &= F_{0}(\mathrm i\omega) \cdot\Omega\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n\Omega) \\ &= \Omega\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{0}(\mathrm in\Omega) \delta(\omega-n\Omega). \end{aligned}

这就得到了计算周期信号的傅里叶变换的两种方法：

\boxed{ \begin{aligned} \mathscr{F}[f_{T}(t)] &= 2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta(\omega-n\Omega) \\ &= \Omega\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{0}(\mathrm in\Omega) \delta(\omega-n\Omega) \end{aligned} }

两式对比，有 $F_{0}(\mathrm i\omega)$ 与 $F_{n}$ 的关系

\boxed{ F_{n} =\frac{1}{T} F_{0}(\mathrm in\Omega) =\frac{1}{T} F_{0}(\mathrm i\omega) \Bigg|_{\omega=n \Omega} }

采样定理是连续信号转换为数字信号的理论基础。

模-数 (Analog / Digital) 转换：对模拟信号进行采样，得到离散的样值信号，然后对样值进行量化、编码。

均匀取样：抽样间隔 $T_{s}$ 相同，是为取样周期， $\omega_{s}$ 为取样角频率。

设 $s(t)$ 为采样脉冲(周期脉冲)，则采样信号

f_{s}(t) = f(t) * s(t)

当s(t)为周期矩形脉冲时称为矩形脉冲采样

当s(t)为周期冲激信号时称为理想采样

讨论 $\mathscr{F}[f_{s}(t)]$ 与 $\mathscr{F}[f(t)]$ 的关系。

时域分析法和频域分析法是以不同的观点对 LTI 系统进行分析。

我们在第二章中提及，将激励信号 $e(t)$ 分解为无穷多个冲激信号之和，借助系统的冲激响应、线性、时不变性质求解系统对任意信号激励下的零状态响应 $y_{\mathrm{zs}}(t)$ ，有

y_{\mathrm{zs}}(t)=e(t)*h(t),

这是在时域上分析的，将上式两边做傅里叶变换，得到

Y_{\mathrm{zs}}(\mathrm i\omega) = E(\mathrm i\omega) H(\mathrm i\omega),

这是在频域上分析的。

式中 $H(\mathrm i\omega)$ 表示 频率响应函数，定义为

H(\mathrm i\omega) = \dfrac{Y_{\mathrm{zs}}(\mathrm i\omega)}{E(\mathrm i\omega)} = |H(\mathrm i\omega)| \mathrm e^{\mathrm i\varphi(\omega)},

这反映了系统的频域特性，用于研究系统的零状态响应。

例 1 兹有连续系统的微分方程为 $y''(t)+4 y'(t)+3 y(t)=e'(t)-e(t)$ ，求该系统的单位冲激响应。

解在方程两边做傅里叶变换，

(\mathrm i\omega)^2 Y(\mathrm i\omega) + 4 \mathrm i\omega Y(\mathrm i\omega) + 3 Y(\mathrm i\omega) = \mathrm i\omega E(\mathrm i\omega) - E(\mathrm i\omega),

整理，该系统的频率响应

H(\mathrm i\omega) = \frac{Y(\mathrm i\omega)}{E(\mathrm i\omega)} = \frac{\mathrm i\omega-1}{(\mathrm i\omega)^2+4 \mathrm i\omega+3} = \frac{2}{\mathrm i\omega+3} - \frac{1}{\mathrm i\omega+1},

做傅里叶反变换，得到该系统的单位冲激响应

h(t) = (2 e^{-3t}-e^{-t}) \varepsilon(t).

例 2 求系统对虚指数信号 $e(t) = \mathrm e^{\mathrm i\omega_{0}}$ 的零状态响应。

解根据卷积的定义式，

\begin{aligned} y_{\mathrm{zs}}(t) &= \mathrm e^{\mathrm i\omega_{0}t} * h(t) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \mathrm e^{\mathrm i\omega_{0} (t-\tau)} \mathrm d\tau \\ &= \mathrm e^{\mathrm i\omega_{0}t} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \mathrm e^{- \mathrm i\omega_{0} \tau} \mathrm d\tau \\ &= H(\mathrm i\omega_{0}) \mathrm e^{\mathrm i\omega_{0}t} \\ &= |H(\mathrm i\omega_{0})| \mathrm e^{\mathrm i [\omega_{0}t + \varphi(\omega_{0})]}. \end{aligned}

系统的零状态响应仍为同频率的虚指数信号，其幅度和相位由系统函数 $H(\mathrm i\omega_{0})$ 确定。

例 3 求系统对正弦信号 $e(t) = \cos\omega_{0}t$ 的零状态响应。

解