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$\Huge 高 \ 数 \ 期 \ 中 = 套 \ 公 \ 式 \\\\$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad——基于历年中国传媒大学高等数学期中考试试卷的复习笔记$

Part2 微积分

§2.4 平面点集、多元函数、二元函数的极限和连续性

§2.4.1 平面点集

一、平面点集 E

平面上的点 $P$ 可以用一有序实数对 $(x,y)$ 唯一表示。

两点 $P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2)$ 间的距离 $d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，满足正定性和三角不等式。

平面上满足某条件 $T$ 的点的集合称为平面点集，记作 $E={P\mid P \text{ satisfies } T}$，如

全平面 ${\mathbb{R}^2} = \big\lbrace {( {x,y} ) \mid - \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty } \big\rbrace$；
圆 $C = \big\lbrace(x,y) \mid (x-a)^2 + (x-b)^2 < r^2\big\rbrace$；
矩形 $S = \big\lbrace (x,y) \mid a \leqslant x \leqslant b,c \leqslant y \leqslant d \big\rbrace = [a,b] \times [c,d]$。

平面点列 ${P_n}$ 是特殊的平面点集。

二、邻域

一维去心邻域 $\overset{\circ}{U} ( x_0,\delta ) = \lbrace x \mid 0 < \left|{x - {x_0}} \right| < \delta \rbrace$。
圆邻域 $U(P,\delta) = \lbrace x \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < \delta \rbrace$；

去心圆邻域 $\overset{\circ}{U}(P,\delta) = \lbrace x \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < \delta ,(x,y) \ne (x_0,y_0) \rbrace$；
*方邻域 $U(P,\delta) = \lbrace x \mid \left|x-x_0\right| < \delta , \left|y-y_0\right| < \delta \rbrace$，*

去心方邻域 $\overset{\circ}{U}(P,\delta) = \lbrace x\mid \left|x-x_0\right| < \delta , \left|y-y_0\right| < \delta ,(x,y) \ne (x_0,y_0) \rbrace$，

因任一圆邻域都可以包含于某一方邻域，反之亦然，所以圆邻域与方邻域一般不加区分，或曰 方邻域与圆邻域等价。

三、点与点集的关系

按点 $P$ 在 $E$ 的内外分：
- 内点 $\exists \delta > 0, \text{ s.t. } U(P,\delta) \subset E$；
- 外点 $\exists \delta > 0, \text{ s.t. } U(P,\delta) \cap E = \varnothing$；
- 边界点 $\forall \delta > 0, U(P,\delta) \cap E \ne \varnothing \land U(P,\delta) \subset E^c$（$P$ 点的任意邻域内既有属于 $E$ 的点，也有不属于 $E$ 的点），其中 $E^c = \mathbb{R}^2 \text{\} E$ 为余集，全体边界点的全体构成 $E$ 的边界 $\partial E$。
按点 $P$ 的近旁是否聚集 $E$ 的无穷多个点分：
- 聚点 $\forall \delta > 0,\ U(P,\delta) \subset E$，或 $\forall\delta>0,\ N(P_0,\delta)\cap E$ 是一个无穷集，或存在互异的点列 ${P_n}\subset E$ 使 $P_n\to P_0,\ n\to\infty$；
- *孤立点 $\forall \delta > 0, U(P,\delta) \cap E = \varnothing$*；
  
  孤立点—界点，内点—聚点，非孤立的界点—聚点；
  既不是聚点又不是孤立点的点—外点；
  边界点—孤立点或聚点，可以属于 $E$（闭集），也可以不属于 $E$（开集）；
  聚点可以属于 $E$，也可以不属于 $E$；

四、点集

开集每一点都是内点，即无边界点；
闭集所有聚点都属于 $E$（可包括孤立点），或只有孤立点；
不开也不闭的点集；
既开又闭的点集（$\varnothing$ 和 $\mathbb{R}^2$）。
区域 在各教材中的定义不同，同济高数中的定义特指开区域；
开区域 连通（若 $E$ 中任意两点都可以用完全属于 $E$ 的有限条直线段连接起来）的开集；
闭区域 开区域和所有边界；
半开半闭区域开区域和部分边界。
有界集
- $\exists U(O,\delta) \supseteq E$
- $\exists D = [a,b]\times[c,d] \supseteq E$
- $E$ 的直径 $d(E) = \underset{P_1,P_2 \in E}{\operatorname{sup}} \rho(P_1,P_2)$ 为有限值；
无界集 $\forall U(O,\delta) \not\supset E$。

§2.4.2 二元函数的极限（二重极限）

设 $f$ 为定义在 $D\subset\mathbb{R}^2$ 上的二元函数，$P0$ 为 $D$ 的一个聚点，$A$ 是一个确定的实数，若 $\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0$, such that $\forall p\in N\circ(P0,\delta)\cap D ,\ 有\ |f(P)-A|<\varepsilon$，则称 $A$ 为 $f$ 在 $D$ 上当 $P\to P_0$ 时的极限，记作 $\lim{P\to P0}f(P)=A$ 或 $\lim{x\to x0\y\to y_0}f(x,y)=A$ 或 $\lim{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$。等价描述：

若 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$，则对于定义域内任意一条趋向于点 $(x_0,y_0)$ 的路径 $c$，都有

$\lim_{\begin{array}{}(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\in c\end{array}}f(x,y)=A$

因此，如果能找到两条不同的路径，极限不相同，则表明 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 不存在。

例函数 $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\ne0 \ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases}$ 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时的极限。
解置 $P(x,y)$ 沿 $y=kx(k\ne0)$ 趋于 $(0,0)$，得极限值为 $\dfrac{k}{k^2+1}$，其随 $k$ 的变化而变化，因此极限不存在。

(2022) 极限 $L=\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x+y}$ 不存在。

思路取一些数引出矛盾就能证明。构造题要大胆尝试，如取 $y=x$ 和 $y=x^2-x$。

§2.4.3 二元函数的连续性

关于连续性、间断点等的定义不再赘述，如在 $(x0,y_0)$ 连续即 $\lim\limits{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，亦满足曾学的性质，如无穷大无穷小、初等函数连续性等。

一元连续函数看成二元函数时仍是连续的。

求 $L=\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{x}$。

解
$\begin{aligned} L &= \lim\limits_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{xy}y \\ &= \lim\limits_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{xy} \lim\limits_{(x,y)\to(0,2)}y \\ &= \lim\limits_{xy\to0}\frac{\sin(xy)}{xy} \lim\limits_{y\to2}y \\ &= 1\times2=2 \end{aligned}$

§2.5 多元函数的微分

§2.5.1 可微性

一、全微分

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有定义，对于 $U(P_0)$ 中的点 $P(x,y)=(x+\Delta x, y+\Delta y)$，在点 $P_0$ 处的

全增量 $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$，
全微分 $\left.\mathrm dz\right|_{x=x_0,y=y_0}=A\Delta x+ B\Delta y$，若 $\exists A,B$，s.t. $\Delta z= A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$。

二、偏导数

若二元函数在 $P_0$ 处可微，令 $\Delta y \equiv 0$，在点 $P_0$ 处关于 $x$ 的

偏增量 $\Delta_x z = A\Delta x + \alpha\Delta x$，
偏微分 $A\Delta x$。

将多元函数的微分问题变成熟悉的一元函数微分。

邻域内有定义、极限存在时，在点 $(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 的

偏导数：$\displaystyle\left.\frac{\partial f}{\partial x} \right|{(x_0,y_0)}=\displaystyle\lim{\Delta x\to 0}\frac{\Deltaxf(x_0,y_0)}{\Delta x}=\displaystyle\lim{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。

根据一元函数微分和导数的关系，将偏增量 $\Deltax z = A\Delta x + \alpha\Delta x$ 中 $\Delta x$ 除到等式的右边 $\frac{\Delta_xz}{\Delta x}=A + \alpha$，当 $\Delta x\to 0$ 时，得到偏导数 $\lim{\Delta x\to 0}\frac{\Deltax z}{\Delta x} = \lim{\Delta x\to 0}(A+\alpha) = A$。

(2022) 设 $f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\sin x^2y}{xy}, & xy\ne0 \ 0, & xy=0\end{cases}$，求 $f_x(0,1)$。

思路即求 $\lim\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{f(0+\Delta x, 1)-f(0,1)}{\Delta x}$，代入即 $\lim\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin (\Delta x)^2}{(\Delta x)^2}=1$。

三、可微的条件

可微的必要条件 若二元函数 $f$ 在其定义域内一点 $(x,y)$ 可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且全微分

$\mathrm df = \frac{\partial{f}}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial{f}}{\partial y}\mathrm dy$

可微的充分条件 若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域上存在，且 $f_x$ 与 $f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则函数在点 $(x_0,y_0)$ 可微。

各个偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 连续、偏导数存在；
偏导数存在 $\not\Rightarrow$ 连续、可微（与一元不同）；
可微 $\not\Rightarrow$ 各个偏导数连续；
连续 $\not\Rightarrow$ 偏导数存在，可微。

例 1(2019) 按定义证明 $z=\begin{cases}\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\ne0 \ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases}$ 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时偏导数存在，但不连续。

证明 (1) 由
$\left.\frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(0,0)} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x} =0$
知关于 $x$ 的偏导数存在，同理关于 $y$ 的亦存在。

(2) 置 $P(x,y)$ 沿 $y=kx(k\ne0)$ 趋于 $(0,0)$，得
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}z=\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot kx}{(x)^2\cdot(kx)^2}=\frac{k}{k^2+1}$
其随 $k$ 的变化而变化，因此当 $(x,y)\to(0,0)$ 时的极限不存在，故不连续。

例 2 按定义证明 $z=\begin{cases}\displaystyle\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2\ne0 \ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases}$ 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时偏导数存在，但不可微。

证明 (1) 易知偏导数存在，且 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。

(2) 用反证法证明不可微，假设有 $\Delta z= A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$，其中 $A=f_x(0,0)=0,B=f_y(0,0)=0$，即 $\Delta z=o(\rho)$，有
$\lim\limits_{\rho\to0}\frac{\Delta z}{\rho}=0,$
而当点 $(\Delta x,\Delta y)$ 沿直线 $y=x$ 趋于点 $(0,0)$ 时，$\Delta x = \Delta y$，此时
$\begin{aligned} \lim\limits_{\rho\to0}\frac{\Delta z}{\rho} &=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{f(0+\Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \\ &=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(\Delta x)^2}{2(\Delta x)^2} = \frac{1}{2}. \end{aligned}$
产生了矛盾，故不可微。

例 3 按定义证明 $z=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\ne0 \ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases}$ 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时可微，但偏导数不连续。

证明略。

例 4 按定义证明 $z=\sqrt{|xy|}$ 在 $(0,0)$ 处不可微。

证明易知 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。
$\begin{aligned} \lim_{\rho\to0}\frac{\Delta z - A\Delta x + B\Delta y}{\rho} &= \lim_{\rho\to0}\frac{(\sqrt{|\Delta x\Delta y|}-0)-0\Delta x-0\Delta y}{\rho} \\ &= \lim_{\rho\to0}\frac{\sqrt{|\rho\sin\theta\cdot\rho\cos\theta|}}{\rho} \\ &= \lim_{\rho\to0}\sqrt{|\sin\theta\cos\theta|} \end{aligned}$
不存在，故不可微。

§2.5.2 偏导函数与求偏导法则

一、偏导函数

求偏导数，把其他自变量看作常数，化为一元函数的求导问题。

二、复合函数的偏导数

若函数 $u = \varphi(x, y), \ v = \psi(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微，$z = f(u, v)$ 在点 $(u, v)$ 可微，则复合函数 $z = f(\varphi(x, y), \psi(x, y))$ 在点 $(x, y)$ 可微，且关于自变量 $x$ 与 $y$ 的偏导数

$\begin{aligned} \frac{ \partial z }{\partial x} = \frac{ \partial z }{\partial u}\frac{ \partial u }{\partial x} + \frac{ \partial z }{\partial v}\frac{ \partial v }{\partial x} \\ \frac{ \partial z }{\partial y} = \frac{ \partial z }{\partial u}\frac{ \partial u }{\partial y} + \frac{ \partial z }{\partial v}\frac{ \partial v }{\partial y} \end{aligned}$

一般地，若 $f(u_1,\cdots,u_m)$ 在点 $(u_1,\cdots,u_m)$ 可微，$u_k = g_k(x_1,\cdots,x_n)\ (k=1,2,\cdots,m)$ 在点 $(x_1,\cdots,x_n)$ 具有关于 $x_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 的偏导数，则复合函数 $f(g_1(x_1,\cdots,x_n),g_2(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n))$ 关于自变量 $x_i$ 的偏导数

$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum^n_{k=1}\frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\ (i=1,2,\cdots,n)$

三、复合函数的全微分

若以 $x$ 和 $y$ 为自变量的函数 $z=f(x,y)$ 可微，则

$\mathrm dz = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm dx + \frac{\partial z}{\partial y}\mathrm dy$

若函数 $x=\varphi(s,t),\ y=\psi(s,t)$ 在点 $(s,t)$ 可微，则

$\begin{aligned} \mathrm{d}z &=\frac{\partial z}{\partial s} \mathrm{~d} s+\frac{\partial z}{\partial t} \mathrm{~d} t \\ &=\left(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}\right) \mathrm{d} s +\left(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}\right) \mathrm{d} t \\ &=\frac{\partial z}{\partial x} \left(\frac{\partial x}{\partial s} \mathrm{d} s+\frac{\partial x}{\partial t} \mathrm{~d} t\right) +\frac{\partial z}{\partial y} \left(\frac{\partial y}{\partial s} \mathrm{d} s+\frac{\partial y}{\partial t} \mathrm{d} t\right) \\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d} x +\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d} y \end{aligned}$

是为 全微分形式不变性。

(2011) 设 $y=2x, f(x,y)=x^2+3x, f_x(x,y)=6x+1$，求 $f_y(x,y)$。

解对 $f(x,y)=x^2+3x$ 等式两边求全微分，即 $f_x(x,y)+\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}f_y(x,y)=2x+3$，代入即得。

四、高阶偏导

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) &=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f_{x x}(x, y) \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) &=\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{x y}(x, y) \\ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) &=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=f_{yx}(x, y) \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) &=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f_{y y}(x, y) \end{aligned}$

混合偏导与求导顺序无关，即

$f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y)$

(2022) 设 $z=f(xe^y,x,y)$，且 $f$ 具有二阶连续的偏导数，求 $\dfrac{\partial z^2}{\partial x\partial y}$。

析熟悉记号 $f{1}’,f{12}’’$ 等的含义，并注意 $\dfrac{\partial}{\partial x}f_1’$ 与 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的关系。

解
$\begin{aligned} {\color{violet}{\frac{\partial z}{\partial x}}} &= f_{1}'\frac{\partial}{\partial x}xe^y + f_{2}'\frac{\partial}{\partial x}x + f_{3}'\frac{\partial}{\partial x}y \\ &= {\color{violet}{e^yf_{1}' + f_{2}'}} \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= f_{1}'\frac{\partial}{\partial y}xe^y + f_{2}'\frac{\partial}{\partial y}x + f_{3}'\frac{\partial}{\partial y}y \\ &= xe^yf_{1}' + f_{3}' \\ \frac{\partial z^2}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(xe^yf_{1}' + f_{3}'\right) \\ &= xe^y{\color{violet}{\frac{\partial}{\partial x}f_{1}'}} + e^yf_{1}' + \frac{\partial}{\partial x}f_{3}' \\ &= xe^y\left({\color{violet}{e^yf_{11}'' + f_{21}''}}\right) + e^yf_{1}' + \left(e^yf_{13}'' + f_{23}''\right) \\ &= xe^{2y}f_{11}' + xe^yf_{21}'' + e^yf_{1}' + e^yf_{13}'' + f_{23}'' \\ \end{aligned}$

五、隐函数求导法则

设方程 $F(x,y)=0$，若隐函数 $y=f(x)$ 存在且可导，有

$\boxed{\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}}$

推广到多个变元有类似的式子；推广到方程组即：

对于 $F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0$，有

$\begin{cases} F_x + F_u\dfrac{\partial u}{\partial x} + F_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0\\\\ G_y + G_u\dfrac{\partial u}{\partial x} + G_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0 \end{cases}$

在 $J=\begin{vmatrix}F_u & F_v \ G_u & G_v\end{vmatrix}\ne0$ 的条件下，解出

$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = -\dfrac{1}{J}\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)} = -\dfrac{1}{J}\begin{vmatrix}F_x & F_v \\ G_x & G_v\end{vmatrix}\\\\ \dfrac{\partial v}{\partial x} = -\dfrac{1}{J}\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)} = -\dfrac{1}{J}\begin{vmatrix}F_u & F_x \\ G_u & G_x\end{vmatrix} \end{cases}$

(2022) 设 $z=z(x,y)$ 由 $F\big(x+\dfrac{z}{y},y+\dfrac{z}{x}\big)=0$ 所确定，证明 $x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z-xy$。

思路命 $G(x,y,z)=F\big(x+\dfrac{z}{y},y+\dfrac{z}{x}\big)$，以 $F_1’,F_2’$ 表示 $G_x,G_y,G_z$，代入即可。

§2.5.3 多元函数的微分的几何意义

一、多元函数的微分的几何意义 ¹

在解析几何中，一元函数的微分是函数在曲线上某点处的切线方程，$A$ 表示切线的斜率，二元函数的全微分是切平面方程，$A,B$ 是函数在 $P_0$ 处的偏导数。

在可微曲面 $f(x,y)$ 的任意点 $(x,y,f)$ 上作切平面，则在足够小的邻域内，切平面上的点 $(x+\mathrm dx,y+\mathrm dy,z+\mathrm df)$ 是曲面上点的近似。

对于一元函数 $f(x)$ 上的任意一点 $(x,f(x))$ 的法向量为 $(f’(x),-1)$。推广到二元函数，对于二元函数 $f(x,y)$ 上的任意一点 $(x,y,f(x,y))$ 的法向量，它在 $ZOX$ 面的投影为 $(\frac{\partial{f}}{\partial x},-1)$，在 $ZOY$ 面的投影为 $(\frac{\partial{f}}{\partial y},-1)$，可知在三维函数空间中的法向量 $\mathbf{N} = (\frac{\partial{f}}{\partial x},\frac{\partial{f}}{\partial y},-1)$。

又由于法向量与切向量 $\mathbf{T}=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm df)$ 垂直，有
$\mathbf{N}\cdot\mathbf{T}=\frac{\partial{f}}{\partial x}\mathrm dx + \frac{\partial{f}}{\partial y}\mathrm dy + (-1)\mathrm df=0$
即全微分公式。

将 $\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm df$ 展开，
$\frac{\partial{f}}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial{f}}{\partial y}(y-y_0) - (z-z_0) = 0$
即切平面的点法式方程。

再回看书上的这段话：

二元函数 $f(x,y)$ 可以看成是三维空间中的曲面，令 $y = y_0$ 是得到一个一元函数 $f(x,y_0)$，这个一元函数可以看成曲面与 $y=y_0$ 平面的相交曲线。那么 $f_x(x_0,y_0)$ 的几何意义就是相交曲线在 $x = x_0$ 处切线的斜率。

¹. 参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/90858099 ↩

二、空间曲线的切线和法平面

思路化参数式，求方向向量。

方法设曲线 $\begin{cases}x=\varphi (t)\ y=\psi (t)\ z=\omega (t)\end{cases}$，当 $t=t_0$ 时，点 $P$ 的

坐标 $P\big(\varphi(t_0),\phi(t_0),\omega(t_0)\big)$；
方向向量 $\mathbf{T} = \big(\varphi’(t_0),\phi’(t_0),\omega’(t_0)\big)$；
切线方程 $\dfrac{x-x_0}{\varphi’(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{\psi’(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{\omega’(t_0)}$；
法平面 $\varphi’(t_0)(x-x_0)+\psi’(t_0)(y-y_0)+\omega’(t_0)(z-z_0)=0$。

对于 $\begin{cases}F(x,y,z)=0\ G(x,y,z)=0\end{cases}$，设 $x$ 为参数，并依隐函数求导法则求出 $\begin{cases}x=x\y=\varphi(x)\z=\psi(x)\end{cases}$，化归为上述情形。

当然亦可套公式：某点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的

方向向量 $\mathbf{T}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\F_x&F_y&F_z\G_x&G_y&G_z\end{vmatrix}$；

切线方程 $\dfrac{x-x_0}{\begin{vmatrix}F_y&F_z\ G_y&G_z\end{vmatrix}}=\dfrac{y-y_0}{\begin{vmatrix}F_x&F_z\ G_x&G_z\end{vmatrix}}=\dfrac{z-z_0}{\begin{vmatrix}F_x&F_y\ G_x&G_y\end{vmatrix}}$；

法平面 $\left | \begin{matrix}x-x_0&y-y_0&z-z_0\ F_x&F_y&F_z\ G_x&G_y&G_z\end{matrix}\right |=0$。

三、空间曲面的切平面和法线

思路化一般式，求法向量。

方法设曲线 $F(x,y,z)=0$，某点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的

法向量 $\mathbf{N}=(F_x,F_y,F_z)$；
切平面方程 $F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$；
法线方程 $\dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z}$。

对于 $z=f(x,y)$，设 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$（此时 $F_z=-1$），化归为上述情形。

§2.5.4 方向导数与梯度

对于二元函数，偏导数可以看成以 x 轴或 y 轴为法线且垂直于 xOy 的平面与二元函数曲面相交曲线的导数。事实上，垂直于 $xOy$ 平面且与二元函数相交的平面不止这两种，方向导数解决了在 $xOy$ 平面上任取一个向量，在 $\mathbb{R}^3$ 空间与这个向量平行的平面与二元函数的交线上任意一点的斜率。

方向导数 设二元函数 $f$ 在点 $P0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)\subset \mathbb{R}^2$，$l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线， P(x,y) 为 l 上且含于 U(P_0) 内的任一点，以 \rho 表示 P 于 P_0 两点间的距离。若极限 $\lim\limits{\rho \to 0} \dfrac{f(P) - f(P0)}{\rho} = \lim\limits{\rho \to 0} \dfrac{\Delta f}{\rho}$ 存在，则称此极限为函数 $f$ 为点 $P0$ 沿方向 $l$ 的方向导数 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l} \right|{P_0} , \ f_l(P_0) \ 或 \ f_l(x_0, y_0)$。

若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在点 $P_0$ 沿任一方向 $f$ 的方向导数都存在，且

$f_l(P_0) = f_x(P_0)\cos\alpha + f_y(P_0)\cos\beta$

其中 $\cos\alpha , \cos\beta$ 为方向 l 的方向余弦， $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$。

定理（方向导数与全微分的关系）：若函数 f 在点 P_0(x_0,y_0) 可微，那么所有过 P_0(x_0,y_0,z_0) 的切线共面，这个平面就是二元函数的切平面。

二元函数在点 P_0(x_0,y_0) 处可微，那么其关于自变量 x,y 的偏导数存在，这两个偏导数表示两条过 P_0(x_0,y_0,z_0) 的两条切线，这两条切线线性无关。由方向导数与偏导数之间的关系我们发现所有方向导数表示的切线都可以通过偏导数表示的切线线性表出，由线性代数的知识我们知道，这些方向导数表示的切线是共面的，这个平面就是切平面。

如果函数在一点可微，那么在该点处 360^{\circ} 的方向上，方向导数都存在，我们希望知道哪一个方向上的方向导数的最大，也即二元函数沿着该方向增长得最快，这个方向其实就是梯度。

若 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 存在对所有自变量的偏导数，则函数 $f$ 在点 $P_0$ 的梯度 (gradient)

$\nabla f(x_0,y_0)=\operatorname{\mathbf{grad}}f(x_0,y_0)= f_x(P_0)\mathbf{i}+f_y(P_0)\mathbf{j}=(f_x(P_0),f_y(P_0))$

记 $l$ 方向上的单位向量为 $\mathbf{e}_l = (\cos\alpha , \cos\beta)$，则方向导数还可写成

$f_l(P_0) = \operatorname{\mathbf{grad}}f(P_0) \cdot l_0 = |\operatorname{\mathbf{grad}}f(P_0)| \cos\theta$

其中 $\theta$ 是梯度向量 $\operatorname{\mathbf{grad}}f(P_0)$ 与 $l_0$ 的夹角。

当 $\theta = 0$ 时，$f_l(P_0)$ 取得最大值 $|\operatorname{\mathbf{grad}}f(P_0)|$。这就是说，当 $f$ 在点 $P_0$ 可微时，$f$ 在点 $P_0$ 的梯度方向时 $f$ 的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率为 $|\operatorname{\mathbf{grad}}f(P_0)|$；而当 $l$ 与梯度向量反方向 $(\theta = \pi)$ 时，方向导数取得最小值 $-|\operatorname{\mathbf{grad}}f(P_0)|$。

几何意义 二元函数 $z=f(x,y)$ 与 $z=z_0$ 平面的交线称为等高线，向量 $\pm(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$ 是二元函数在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处切平面的法线，梯度是二元函数在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处等高线的法线。

(2022) 求函数 $u=x y^2 z$ 在点 $P(1,-1,2)$ 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。

解 $\operatorname{\mathbf{grad}}u=\left(y^2 z, 2 x y z, x y^2\right),\left.\operatorname{\mathbf{grad}}u\right|_p=(2,-4,1)$。

增长最快的方向为梯度方向，即 $\left.\operatorname{\mathbf{grad}}u\right|_p=(2,-4,1)$，沿这个方向的方向导数 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_p=|\operatorname{\mathbf{grad}}u|=\sqrt{21}$；
减少最快的方向为负梯度方向，即 $-\left.\operatorname{\mathbf{grad}}u\right|_p=(-2,4,-1)$，沿这个方向的方向导数 $\left.\quad \dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_p=-|\operatorname{\mathbf{grad}}u|=-\sqrt{21}$。

§2.5.5 多元函数的极值与最值

一、多元函数的无条件极值

必要条件 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 取得极值且偏导存在，则 $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$。

几何意义 $z=f(x,y)$ 在 $(x0,y_0)$ 取得极值且偏导存在，则在 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 有水平切面，且 $\mathbf{N}=(f_x,f_y,-1)|{P_0}=(0,0,-1)$，切平面方程 $z=f(x_0,y_0)$。

方法为求 $f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$，只需求驻点 $\nabla f=(f_x,f_y)=\mathbf{0}$。

充分条件 $z=f(x,y)$ 在 $U(P0)$ 具有一阶及二阶连续偏导，$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$。令 $f{xx}(x0,y_0)=A$，$f{xy}(x0,y_0)=B$，$f{yy}(x_0,y_0)=C$，

$AC-B^2\gt 0$，具有极值，其中 $A\gt 0$ 极小，$A\lt 0$ 极大
$AC-B^2\lt 0$，无法取得极值
$AC-B^2=0$，无法确定

二、多元函数的无条件最值

类似一元，由极值点（驻点或偏导不存在）和边界点讨论最值。

三、多元函数的有条件极值

求 L 驻点→条件极值点：$L(x,y,\lambda)=\underset{目标}{f(x,y)}+\lambda\underset{约束}{\varphi(x,y)}$

求旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $x+y-2z=2$ 间的最短距离。

代数法 设 $(x, y, z)$ 是旋转拋物面 $z=x^2+y^2$ 上一点，则它到平面 $x+y-2 z=2$ 的距离为 $d=\dfrac{|x+y-2 z-2|}{\sqrt{6}}$。考虑目标函数 $d^2=\dfrac{(x+y-2 z-2)^2}{6}$，作拉格朗日函数
$L(x, y, z)=\frac{(x+y-2 z-2)^2}{6}+\lambda\left(x^2+y^2-z\right)$
分别令 $L_x=0,L_y=0,L_z=0$，结合条件 $z=x^2+y^2$，解这个四元方程组得 $(x,y,z)=\Big(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8}\Big)$。一方面，只有一个可能极值点；另一方面，从几何上知道，这个最短距离一定存在。所以点 $\Big(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8}\Big)$ 就是所求的最小值点，最短距离为
$d=\frac{\left|\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-2 \cdot \frac{1}{8}-2\right|}{\sqrt{6}}=\frac{7}{24} \sqrt{6}$
几何法 设点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 上到平面 $x+y-2 z=2$ 距离最短的点，则旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$处的切平面必平行于平面 $x+y-2 z=2$。因此，$z=x^2+y^2$ 在点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切平面的法向量 $\mathbf{n}_1=\left(2 x_0, 2 y_0,-1\right)$ 与 $(1,1,-2)$ 共线，解得 $x_0=\dfrac{1}{4}, y_0=\dfrac{1}{4}$，下同。

4 中值定理与泰勒公式
二元函数的种植定理与泰勒公式与一元函数的拉格朗日中值定理和泰勒公式相仿，对于多元的情况也有相同的定理，只是形式上更加复杂一点。

凸区域的定义：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D ，则称 D 为凸区域。也即若 D 为凸区域，则对区域内任意两点 P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2) 和一切 \lambda\ (0\le\lambda\le1) ，恒有：

P(x_1+\lambda(x_2-x_1), y_1+\lambda(y_2-y_1))\in D

中值定理：设二元函数 f 满足如下条件：

在凸开域 D\subset R^2 上连续，
在 D 的所有内点都可微，
则对 D 内任意两点 P(a,b),\ Q(a+h,b+k)\in D ，存在某 \theta\ (0<\theta<1) ，使得：

f(a+h,b+k)-f(a,b)=f_x(a+\theta h,b+\theta k)h+f_y(a+\theta h,b+\theta k)k

泰勒定理：若函数 f 在点 P_0(x_0,y_0) 的某邻域 U(P_0) 上有直到 n+1 阶的连续偏导数，则对 U(P_0) 内任一点 (x_0+h,y_0+k) ，存在相应的 \theta \in (0,1) ，使得：

\begin{aligned} f\left(x{0}+h, y{0}+k\right)=& f\left(x{0}, y{0}\right)+\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right) f\left(x{0}, y{0}\right) \ &+\frac{1}{2 !}\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2} f\left(x{0}, y{0}\right)+\cdots \ &+\frac{1}{n !}\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n} f\left(x{0}, y{0}\right) \ &+\frac{1}{(n+1) !}\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x{0}+\theta h, y{0}+\theta k\right) \end{aligned}

该式称为二元函数 f 在点 P_0 的 n 阶泰勒公式。

5 函数的极值
二元函数的极值定义：设函数 f 在点 P(x_0,y_0) 都某邻域内有定义，若对于任何点 P(x,y)\in U(P_0) 成立不等式：

f(P)\le f(P_0),\ 或\ f(P)\ge f(P_0)

则称函数 f 在点 P_0 取得极大值（或极小值）， P_0 称为极大值点（或极小值点）。

极值必要条件：若函数 f 在点 P_0(x_0,y_0) 存在偏导数，且在 P_0 取得极值，则有：

f_x(x_0,y_0)=0,\ f_y(x_0,y_0)=0

P_0 称为函数的稳定点。该定理指出：极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。

极值充分条件：设二次函数 f 在点 P_0(x_0,y_0) 的某邻域上具有二阶连续偏导，且 P_0 是稳定点，则当矩阵：

H{f}\left(P{0}\right)=\left(\begin{array}{ll} f{x=}\left(P{0}\right) & f{x y}\left(P{0}\right) \ f{y x}\left(P{0}\right) & f{y y}\left(P{0}\right) \end{array}\right)

是正定矩阵时， f 在 P_0 取得极小值；当 H_f(P_0) 是负定矩阵时， f 在 P_0 取得极大值；当 H_f(P_0) 是不定矩阵时， f 在 P_0 不取极值。

H{f}\left(P{0}\right) 称为黑赛矩阵。