Codeforces Round 1024 (Div. 1)

A - Mex in the Grid

由于不含 0 的网格的 MEX 都是 0，希望更多的网格包括 0，所以 0 放在正中间。数越小就要越靠近中心（严格证明可以看看官方题解），可以构造

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

	int t;
	cin >> t;

	while (t--) {
		int n;
		cin >> n;
		
		vector a(n, vector<int>(n));
		int x = (n + 1) / 2 - 1;
		int y = (n + 1) / 2 - 1;
		int cur = n % 2;
		for (int d = n % 2 + 1; d <= n; d += 2) {
			x++;
			y++;
			for (auto [dx, dy] : {array{-1, 0}, {0, -1}, {1, 0}, {0, 1}}) {
				for (int _ = 0; _ < d; _++) {
					x += dx;
					y += dy;
					a[x][y] = cur++;
				}
			}
		}

		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				cout << a[i][j] << " ";
			}
			cout << endl;
		}
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

B - Quartet Swapping

首先元素位置的奇偶性不会变。样例告诉我们大概率是可以自由调整的，调整为奇序列升序，偶序列升序。

但有个例外，考虑交换的本质是逆序对 +1/-1，因此整个排列的逆序对 +2/0/-2，即奇偶性总是不变。如果排序后，整个序列逆序对的奇偶性不对了，就需要交换最后一项和倒数第三项。

时间复杂度 $\operatorname{O}(n\log n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cal(const vector<int>& a) {  // 算置换数，置换的奇偶性和逆序对奇偶性相同 
	int n = a.size();
	vector<int> vis(n);
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (vis[i]) continue;
		int cnt = 0;
		for (int u = i; !vis[u]; u = a[u]) {
			vis[u] = true;
			cnt++;
		}
		res += cnt - 1;
	}
	return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    while (t--) {
        int n;
		cin >> n;

		vector<int> a(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			cin >> a[i];
			a[i]--;
		}

		int cnt1 = cal(a);
    	ranges::sort(a | views::drop(0) | views::stride(2));
		ranges::sort(a | views::drop(1) | views::stride(2));
		int cnt2 = cal(a);

		if ((cnt1 - cnt2) % 2) {
			swap(a[n - 1], a[n - 3]);
		}
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			cout << ++a[i] << " \n"[i == n - 1];
		}
    }

    return 0;
}

C - 23 Kingdom

好题。

题意 定义 $dx(c)$ 为序列 $c$ 中最前面的 $x$ 和最后面的 $x$ 之间的距离，如果序列中未出现 $x$，或者只出现一次，定义 $d_x(c)$ 为 0。给定序列 $a$，找到一个等长序列 $b$ 满足 $1\le b_i\le a_i$。最大化 $\sum\limits{i=1}^n d_i(b)$。

Step 1 考察最优序列 $b$ 的形态

需要让尽可能多的值 $v$ 贡献 $d_v(b)$，并且每个贡献的 $d_v(b)$ 尽可能大。对于 $b$ 的构造方法，有一些显然的贪心：

• 每个对答案有贡献的值在序列 $b$ 中恰好出现两次；
• 考虑到约束 $b_i \le a_i$，较小的值更容易满足 $v \le a_i$，因此，如果我们选择 $k$ 个值，应该选择 $1, 2, \dots, k$；
• 将这 $k$ 个值尽可能放置在序列 $b$ 的最左边以及最右边。

例如，如果 $k=3$，$b$ 可能是 $b = (3,1,x,2,x,x,3,2,x,1)$ ，其中 $x$ 代表不贡献答案的值。

---

Step 2 对于固定的 $k$，为了构造出合法的 $b$，考察 $a$ 要满足的条件

假设我们已经确定要用值 $1, 2, \dots, k$ 来产生贡献。

我们需要在序列 $a$ 的一个尽可能短的前缀 $a1, \dots, a{Lk}$ 中找到 $k$ 个不同的位置，并在这些位置上放置 $1, 2, \dots, k$，同时满足 $b{i} \leqslant a{i}$ 的条件。类似地，也要找到尽可能短的后缀 $a{R_k}, \dots, a_n$。

为了确保这 $2k$ 个位置是两两不同的，必须 $L_k < R_k$。

$k$ 递增时 $L{k}$ 递增，$R{k}$ 递减，两指针移动的次数为线性，可以枚举 $k$。

---

Step 3 枚举 $k$，求解答案

设左指针当前位于 $\ell$。

方法：开一个桶，对于当前 $a{\ell}$，需要找到一个 $\leqslant a{\ell}$ 且桶里没有的最大元素 $x$（这可以用 set 或并查集实现），如果找不到这样的 $x$，就继续移动指针 $\ell$，直到找到为止，然后把 $x$ 加入桶中。

正确性：桶中元素互不相同，且元素数量为 $k$，而且保证桶中元素分别大于等于 $1,2,\dots,k$，满足我们的需求。

时间复杂度 $\operatorname{O}(n)$ 或 $\operatorname{O}(n\log n)$。

并查集实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

struct DisjointSets {
    vector<int> p;
    int tot;
    DisjointSets(int n) : p(n, -1), tot(n) {}
    int size(int u) { return -p[find(u)]; }
	int find(int u) { return p[u] < 0 ? u : p[u] = find(p[u]); }
    bool same(int u, int v) { return find(u) == find(v); }
    bool uno(int u, int v) {
        if (u = find(u), v = find(v); u == v) return false;
        return p[u] += p[v], p[v] = u, tot--;
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    while (t--) {
        int n;
		cin >> n;

		vector<int> a(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			cin >> a[i];
		}

		int l = 0, r = n - 1;
		vector<bool> visl(n + 1), visr(n + 1);
		DisjointSets dsul(n + 1), dsur(n + 1);
		ll res = 0;
		while (l < r) {
			while (l + 1 < n && (visl[a[l]] && dsul.find(a[l]) == 0)) {
				l++;
			}
			int nl = dsul.find(a[l]);
			if (nl == 0) {
				break;
			}
			visl[nl] = true;
			dsul.uno(nl - 1, nl);

			while (r > 0 && (visr[a[r]] && dsur.find(a[r]) == 0)) {
				r--;
			}
			int nr = dsur.find(a[r]);
			if (nr == 0) {
				break;
			}
			visr[nr] = true;
			dsur.uno(nr - 1, nr);

			if (l >= r) {
				break;
			}
			res += r - l;
			l++, r--;
		}
		cout << res << endl;
    }

    return 0;
}

set 实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    while (t--) {
        int n;
		cin >> n;

		vector<int> a(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			cin >> a[i];
			a[i]--;
		}

		auto range = views::iota(0, n);
    	set<int> sl(range.begin(), range.end()), sr = sl;

		int l = 0, r = n - 1;
		ll res = 0;
		while (l < r) {
			while (l < n && sl.upper_bound(a[l]) == sl.begin()) {
				l++;
			}
			if (l == n) {
				break;
			}
			sl.erase(--sl.upper_bound(a[l]));

			while (r >= 0 && sr.upper_bound(a[r]) == sr.begin()) {
				r--;
			}
			if (r < 0) {
				break;
			}
			sr.erase(--sr.upper_bound(a[r]));

			if (l >= r) {
				break;
			}
			res += r - l;
			l++, r--;
		}
		cout << res << endl;
    }

    return 0;
}

合法的序列满足：LIS 和 LDS 恰好有一个公共元素 $a{x}$，且 LIS 和 LDS 取遍所有元素。即 $x$ 左边的元素中比 $a{x}$ 小的递增，比 $a{x}$ 大的递降，右边的元素中比 $a{x}$ 大的递增，比 $a_{x}$ 小的递降。

显然，一个合法序列的连续子序列也是合法的。一个 $\operatorname{O}(n^{2})$ 的暴力方案是，枚举 LIS 和 LDS 恰好有一个公共元素 $a{x}$，从 $x$ 向两边找到极大合法子序列 $[L{x},R_{x}]$。

下面优化此过程，期望在 $\operatorname{O}(n\log n)$ 时间内求出 $L,R$ 数组。

把每个部分拆开看，先对于每个 $x$，求最小的 $i$，满足 $[i,x]$ 中比 $a_{x}$ 小的递增。